Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Dimenzia (rozmer) afinného priestoru je dimenzia jeho vektorového zamerania
dim $\small \mathbb A :=$ dim $\small V (\mathbb A)$.

Poznámky

1. Dimenziu afinného priestoru označíme indexom vpravo hore, napríklad $n$-rozmerný afinný priestor ako $\mathbb A^{n}$.
2. Afinný priestor dimenzie 1 nazývame afinná priamka, označujeme ho $\mathbb A^{1}$ ale aj ako obvykle $a, b, p, . . .$
3. Afinný priestor dimenzie 2 nazývame afinná rovina, označujeme ho $\mathbb A^{2}$ ale aj ako obvykle $\alpha, \; \beta,\;...$

Uvedieme základné definície z práce (Monoszová, 1), v ktorých sa pomocou bázy vektorového priestoru zavádza repér afinného priestoru a (lineárna) afinná súradnicová sústava. Súhrnne sa pre tento systém používa označenie: afinný súradnicový systém.

Definície.

1. Nech $\small (\mathcal {A} , V)$ je afinný priestor a $\small O$ je ľubovoľný bod tohto priestoru. Ďalej nech $\lbrace{\pmb {e_1} , \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_n}}\rbrace$ je báza (nie nutne ortonormálna) vektorového priestoru $\small V$. Potom $\small (n + 1)$-tica $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}\right\rangle$ sa nazýva repér afinného priestoru $\small \mathcal {A}$.


2. Nech $\small (\mathcal {A} , V)$ je afinný priestor, nech $\small \left\langle O;\pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n} \right\rangle$ je repér v $\small \mathcal {A}$. Lineárna súradnicová sústava (stručne LSS) je bijektívne zobrazenie
   $\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^n}; \; P \rightarrow [p_1,p_2, . . . , p_n],$
   pričom $\small \vec{O P}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$. Pozrite si prácu (str. 8-11) Tu.

Dôkaz korektnosti definície.
Ľubovoľný vektor (teda aj polohový) vektorového priestoru sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia vektorov bázy tohto vektorového priestoru
$\small \vec{O P}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$.
Z vlastnosti (AP2) vyplýva, že pre bod $\small O$ a vektor $\small \vec{u}=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$ existuje práve jeden bod $\small P=O+ \vec{u}$. Preto aj bod $\small P$ vzhľadom na danú afinnú sústavu súradníc sa dá jednoznačne vyjadriť ako kombinácia
$\small P=O+x_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +x_n\pmb {e_n}$.
Rovnosť $\small P=O+p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$ skrátene zapisujeme ako $\small P = [p_1,p_2, . . . , p_n]$ a $\small n$-ticu
$[\small p_1,p_2, . . . , p_n]$
nazývame súradnicami bodu $\small P$. Súradnice bodu budeme zapisovať v hranatých zátvorkách $\pmb{ [\small x_1,x_2, . . . , x_n] }$. Vektor, ktorý určuje lineárna kombinácia $\small P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$ sa nazýva polohový vektor $\small \overrightarrow{OP}=P-O$.

Existencia a jednoznačnosť súradníc bodu $\small P$ vyplýva tiež z jednoznačného riešenia rovnice,
$\small \overrightarrow{OP}=P-O=p_1\pmb {e_1}+ \cdot \cdot \cdot +p_n\pmb {e_n}$,
keďže vektory $\small \pmb {e_1} ,\pmb {e_2} , \cdot \cdot \cdot ,\pmb {e_n}$ tvoria bázu vektorového priestoru $\small V$.

Pomenovania .

1. $\small O$ – začiatok súradnicovej sústavy
2. $\small E_i = O + \pmb {e_i}$ – jednotkové body súradnicovej sústavy
3. $\small \overleftrightarrow{OE_i}$ – súradnicové osi

Otvorte si applet Tu.

Cvičenie.
Ukážte, že usporiadaná trojica $\small (\mathcal {A} , V,f)$ je afinný priestor, ak $\small {\mathcal {A}} = \lbrace{ [x_1,x_2] \in R;x_2=x_1^2 }\rbrace , V=R, f( [x_1,x_2], [y_1,y_2])=x_1-y_1$. Zistite. či zobrazenie $\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^1}; \; \mathcal {L}( [x_1,x_2])=1+x_1$ je lineárna sústava súradníc.

Riešenie.

1. Ľubovoľný bod $\small X$ afinného priestoru má súradnice $[x,x^2]$. Množina všetkých bodov afinného priestoru $\small (\mathbb {A}$ je parabola (nakreslite graf v GeoGebre).
2. Podmienka (AP1) pre body $\small X[x,x^2],Y[y,y^2],Z[z,z^2]$ zrejme platí, lebo $\small f(X,Y)+f(Y,Z)=(x-y)+(y-z)=x-z=f(X,Z)$.
3. Podmienka (AP2): Zvoľme si ľubovoľné reálne čísla $p,x$ a body $\small P[p,p^2],X[x,x^2]$, potom zobrazenie $\small f(P,X)=p-x$ je bijekcia.
4. Zrejme aj zobrazenie $\small \mathcal {L: A \rightarrow \mathbb R^1}; \; \mathcal {L}( [x,x^2])=1+x$ je bijektívne, preto je LSS.

   Pozrite si tiež príklad 3 v práci Tu.