Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Pri syntetickom prístupe v geometrii sme vychádzame z euklidovského priestoru podľa Euklidových Základov, v ktorom sa základné geometrické útvary (bod, priamka) nedefinovali. Vedeli sme jednoznačne rozhodnúť o pravdivosti výrokov typu: Bod patrí alebo nepatrí danému útvaru. Tento prístup z matematického hľadiska predstavuje zásadný problém: Nevieme jasne zadefinovať, čo je to (bodová) množina.
Neskôr (aj historicky) sme zaviedli pojmy:

1. vektor a vektorový priestor ako štruktúru s predpísanými binárnymi operáciami
2. štandardná báza $\pmb{e = (e_1, . . . , e_n)}$ vektorového priestoru $\small \mathbb R^n$
3. súradnice vektora $\pmb v=(v_1,v_2,...,v_n)$ v štandardnej báze.
Tieto pojmy nám umožňujú zaviesť afinný priestor axiomaticky pomocou vektorového priestoru.

Pripomeňme, že vo vektorovom priestore "bod" prestavuje začiatok resp. koncový bod vektora; vektor – posunutie, pohyb; ale súčet
$\small A + \pmb u$
v afinnom priestore predstavuje posunutý bod $\small A$ o vektor $\pmb u$.
V tejto kapitole budeme využívať prevažne štandardnú bázu $\pmb{e = (e_1, . . . , e_n)}$, ktorej vektory sú navzájom kolmé a majú jednotkovú dĺžku. Takejto báze tiež hovoríme ortonormálová báza.

Afinný priestor nad poľom $\small \mathbb R$ je trojica $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$, kde

1. $\small \mathcal{A}$ je množina bodov.
2. $\small \mathbb V$ je vektorový priestor nad poľom $\small \mathbb R$.
3. $\small f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathbb V$ je zobrazenie s vlastnosťami:
   (AP1)    $\small f(X,Y)+f(Y,Z)=f(X,Z)$
   (AP2)    $\small \exists P \in \mathcal{A};\; f_P :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P,X)$
   je bijektívne zobrazenie. Pozrite si prácu (príklad 2) Tu.

         Otvorte si applet Tu. 

Ak usporiadaná dvojica bodov $\small (X , Y)$ predstavuje umiestnenie vektora $\small \pmb u$, tak vektor môžeme vyjadriť ako $\small \pmb u =\small {Y - X}$, čo predstavuje zobrazenie
$\small \pmb f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)$.
Podmienka (AP2) sa niekedy uvádza takto:
(AP2')    $\small \forall X \in \mathcal{A}; \forall \pmb u \in V$ existuje práve jeden bod $\small P \in \mathcal{A}$ taký, že $\small \overrightarrow{PX} =\pmb u$.
(AP2'')    $\small \forall X,Y \in \mathcal{A}; \exists \pmb u \in V$ taký, že $\small Y=X + \pmb u$.
V tejto kapitole budeme pracovať len s reálnym afinným priestorom nad telesom (poľom) reálnych čísel $\small \mathbb R$. Fundamentálnou vlastnosťou afinného bodového priestoru je axiomatické tvrdenie:

$\small T_1$: Každými dvomi bodmi afinného priestoru je určený vektor, ktorý je daný ich rozdielom.

Applet hyperbola Tu.

Vďaka tejto vlastnosti môžeme vyjadriť bod ($\small Y$ v afinnom bodovom priestore ako súčet bodu a vektora $\small Y=X+ \pmb u$.

$\small T_2$: V afinnom priestore $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$ platí vlastnost’ (AP2) pre ľubovoľný pevne zvolený bod $\small P'$, t.j. $\small \forall P' \in \mathcal{A};\; f_P' :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P',X)$ je bijektívne zobrazenie. Stačí si uvedomiť, že $\small f(P′, X) = f(P′, P) + f(P, X))$.

Zistite, či usporiadané trojice $\small (\mathcal{A}, \mathit V, f)$ sú afinným priestorom.



Otvorte si dynamické obrázky: ľavý Tu - príklad afinného priestoru; pravý Tu - nie je afinným priestorom.

Poznámky.

1. Afinný priestor budeme tiež jednoducho označovať $\small A$ alebo ako $\small \mathbb A$. Vektorový priestor prislúchajúci afinnému priestoru $\small (\mathcal{A}, \mathit V, +)$ budeme označovať ako $\small V(\mathbb A)$ alebo len $\small V$.
2. Vektorovému priestoru hovoríme tiež zameranie afinného priestoru. Afinný priestor, ktorého zameraním je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel nazývame reálny afinný priestor alebo aj aritmetický afinný priestor.
3. Affinis znamená latinsky príbuzný. Prvý krát tento pojem použil Leonhard Euler (1707-1783) pre označenie vzťahu vzoru a obrazu v zobrazení, ktoré zachováva deliaci pomer (pozri kapitolu Deliaci pomer Tu). Afinná geometria je geometria bez vzdialenosti/miery.

Príklad.
Dané sú množiny (červená)
${\small \mathcal{A}} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 ; x_1 + x_2 -2x_3 = -5}\rbrace$,
množina (modrá)
${\small V} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in {\small\mathbb R^3} ; x_1 + x_2 -2x_3 = 0}\rbrace$
a zobrazenie $f : {\small \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)}$ je odčitovanie trojíc reálnych čísel po zložkách.
Dokážte, že $\small ( \mathcal{A}, V, f)$ je afinný priestor nad poľom $\small \mathbb R$. Dynamický obrázok Tu.

Riešenie.
Pre ľubovoľný bod $\small X[x_1,x_2,x_3] \in \mathcal{A}$ platí, že $\small x_3= \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)$.

1. Podmienka (AP1): zo vzťahov
   $\small f(X,Y)=\left [x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3 \right ] =\left [ x_1-y_1,x_2-y_2, \frac{1}{2} \left\{(x_1-y_1 )+(x_2-y_2 ) \right\} \right ]$
   $\small f(Y,Z)=\left [y_1-z_1,\;y_2-z_2,y_3-z_3 \right ]=\left [y_1-z_1,\;y_2-z_2, \frac{1}{2} \left\{(y_1-z_1 )+(y_2-z_2 )\right\} \right ]$
   dostávame
   $\small f(X,Z)=\left [ x_1-z_1,x_2-z_2, \frac{1}{2} ((x_1-z_1 )+(x_2-z_2 )) \right ]$,
   čo bolo treba ukázať.


2. Podmienka (AP2): Nech $\small P=[p_1,p_2, \frac{1}{2} (p_1+p_2+5)]$ je pevne zvolený bod a $\small X=[x_1,x_2, \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)], Y=[y_1,y_2, \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)]$ sú ľubovoľné dva rôzne body.
   Potom je $(x_1 \neq y_1 )∨(x_2 \neq y_2 )$ a zrejme aj pre obrazy
   $\small f(P,X)=\left [p_1-x_1,p_2-x_2,\frac{1}{2} ((p_1-x_1 )+(p_2-x_2 )) \right ]$
   $\small f(P,Y)=\left [ p_1-y_1,p_2-y_2,\frac{1}{2} ((p_1-y_1 )+(p_2-y_2 )) \right ]$
   platí, že sú rôzne. Teda zobrazenie je bijektívne.
   
   Dôkaz, pre podmienku (AP2') nájdete v práci Afinné transformácie na strane 7. Pozrite tiež Príklad 2 na strane 8.

Tvrdenie (operácie s bodmi).
Nech $\small \mathbb A = (\mathcal{A}, \mathit V, +)$ je afinný priestor s operáciou $\small \pmb f: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V (\mathcal{A})$. Potom pre body $\small A,B,C,D \in \mathcal{A}$

1. $\small A - A = \vec 0 \cdot \cdot \cdot \overrightarrow{AA}=\vec{0}$
2. $\small -(A - B) = B - A \cdot \cdot \cdot -\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}$
3. $\small (A + \pmb u) - B = (A - B) + \pmb u= A - (B - \pmb u)$
4. $\small A + (\pmb u + \pmb v) = (A + \pmb u) + \pmb v$
5. $\small (A - B) + (C - D) = (A - D) + (C - B)$
6. $\small A - B = C - D \Leftrightarrow A - C = B- D$

Interpretujte tieto vzťahy v klasickej euklidovskej rovine pomocou programu GeoGebra.

Dôkaz.

1. $\small \overrightarrow{XA} +\overrightarrow{ AA} =\overrightarrow{ XA}⇒\overrightarrow{AA}=\vec{0}.$
2. $\small \vec{0} =\overrightarrow{ AA} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{ B A} ⇒\overrightarrow{ AB}= \vec{0} − \overrightarrow{BA}=− \overrightarrow{BA}.$
3. Označme $\small (A + \pmb u)= A'$.
   1. Z vlastnosti (AP1) (pozri obrázok vľavo a v uprostred) platí $\small A'-B=(A-B)+\pmb u$, čo predstavuje rovnosť $\small (A + \pmb u)- B = (A- B)+ \pmb u$.
   2. Z tvrdenia $\small T_1$ dostaneme $\small C=(B-\pmb u)$ (pozri obrázok vpravo). Spojením obrázkov v strede a vpravo vznikne rovnobežník. Z vlastností rovnobežníka a z vlastnosti (AP1) dostaneme rovnosť $\small (A + \pmb u)- B = A - (B - \pmb u)$.
   3. Porovnaním rovností $\small (A + \pmb u)- B = (A- B)+ \pmb u$ a $\small (A + \pmb u)- B = A - (B - \pmb u)$ dostaneme rovnosť $\small (A- B)+ \pmb u=A - (B - \pmb u)$
      
   Otvorte si applet Tu
4. Z vlastnosti (AP1) dostávame $\small A + (\pmb u + \pmb v)=A + \pmb w=C$. Na druhej strane $\small (A + \pmb u) + \pmb v=B + \pmb v=C$.
applet Tu
5. Dôkazy ďalších tvrdení nájdete napríklad v práci [Duplák, J.: Afinná a Euklidovská geometria.]