Vektorový a afinný priestor
Afinné zobrazenie
Jednoznačnosť AZ
Afinné zobrazenie determinuje ďalšie zobrazenie medzi vektorovými zložkami príslušných euklidovských vektorových priestorov.
Definícia - asociované zobrazenie.
Nech je afinné zobrazenie. Zobrazenie nazývame asociovaným zobrazením k afinnému zobrazeniu , ak spĺňa nasledujúce podmienky:
Nech je afinné zobrazenie. Zobrazenie nazývame asociovaným zobrazením k afinnému zobrazeniu , ak spĺňa nasledujúce podmienky:
Otvorte si applet Tu.
Predchádzajúca definícia vlastne hovorí, že asociované zobrazenie „zachováva” lineárne kombinácie bodov.
Veta - korektnosť definície asociovaného zobrazenia.
Zobrazenie je jednoznačné určené a je dobre definované. Ekvivalentný matematický zápis: nech
pre nejaké . Potom existuje práve jedno asociované zobrazenie také, že
.
Zobrazenie je jednoznačné určené a je dobre definované. Ekvivalentný matematický zápis: nech
pre nejaké . Potom existuje práve jedno asociované zobrazenie také, že
.
Dôkaz korektnosť definície asociovaného zobrazenia.
Existencia a jednoznačnosť asociovaného zobrazenia je daná obrazmi vektorov Vn.
Čo sa týka dobrej definovanosti zápisu v definicii asociovaného zobrazenia, z predpokladu vety vyplýva, že pre nejaké . Teda
.
Keďže zobrazenie je afinné, a teda zachováva lineárne kombinácie bodov, tak
. Prezrite si applet z definície
Existencia a jednoznačnosť asociovaného zobrazenia je daná obrazmi vektorov Vn.
Čo sa týka dobrej definovanosti zápisu v definicii asociovaného zobrazenia, z predpokladu vety vyplýva, že pre nejaké . Teda
.
Keďže zobrazenie je afinné, a teda zachováva lineárne kombinácie bodov, tak
. Prezrite si applet z definície
Lineárne nezávislá množina bodov.
Nech je množina bodov euklidovského priestoru. Je celkom prirodzené zaviesť pojem lineárne nezávislých bodov, ako množinu lineárne nezávislých vektorov .
Nech je množina bodov euklidovského priestoru. Je celkom prirodzené zaviesť pojem lineárne nezávislých bodov, ako množinu lineárne nezávislých vektorov .
Poznámka.
Z predchádzajúcej definície je zrejmé, že v euklidovskom rozmernom priestore existuje najviac lineárne nezávislých bodov. Naviac tento počet sa dá dosiahnuť.
Z predchádzajúcej definície je zrejmé, že v euklidovskom rozmernom priestore existuje najviac lineárne nezávislých bodov. Naviac tento počet sa dá dosiahnuť.
V kapitole "Lineárna kombinácia bodov" sme dokázali vetu
Na základe tohto tvrdenia a definície nezávislých bodov, môžeme povedať, že ľubovoľný bod euklidovského priestoru sa dá
jednoznačne vyjadriť ako ich lineárna kombinácia.
Poznámka o lineárnych zobrazeniach.
Z lineárnej algebry poznáme tvrdenie, že každé lineárne zobrazenie je jednoznačne dané obrazmi prvkov nejakej bázy priestoru .
Poznámka o lineárnych zobrazeniach.
Z lineárnej algebry poznáme tvrdenie, že každé lineárne zobrazenie je jednoznačne dané obrazmi prvkov nejakej bázy priestoru .
Dôsledok obraz repéra.
Nech je repér priestoru a ľubovoľný bod . Ďalej nech sú vektory vektorového priestoru . Potom existuje jediné afinné zobrazenie také, že
a pre .
Nech je repér priestoru a ľubovoľný bod . Ďalej nech sú vektory vektorového priestoru . Potom existuje jediné afinné zobrazenie také, že
a pre .
Dôkaz nájdete v učebniciach z lineárnej algebry.
Veta (Jednoznačnosť afinného zobrazenia).
Nech je afinné zobrazenie. Potom je jednoznačne určené obrazmi lineárne nezávislých bodov z .
Nech je afinné zobrazenie. Potom je jednoznačne určené obrazmi lineárne nezávislých bodov z .
Dôkaz.
Nech . V súlade s definíciou nezávislých bodov, vektory
sú lineárne nezávislé. Keďže afinné zobrazenie je zároveň aj lineárne, tak pre obrazy vektorov v asociovanom afinnom zobrazení platí
pre .
Podľa dôsledku "obraz repéra" je takto jednoznačne definované afinné zobrazenie. Treba len overiť, či takto definované zobrazenia spĺňa podmienku, že .
(Urobte to ako cvičenie!)
Nech . V súlade s definíciou nezávislých bodov, vektory
sú lineárne nezávislé. Keďže afinné zobrazenie je zároveň aj lineárne, tak pre obrazy vektorov v asociovanom afinnom zobrazení platí
pre .
Podľa dôsledku "obraz repéra" je takto jednoznačne definované afinné zobrazenie. Treba len overiť, či takto definované zobrazenia spĺňa podmienku, že .
(Urobte to ako cvičenie!)
Príklad.
Dané sú body afinného priestoru . Zistite, či sústava bodov je afinne (ne)závislá a vypočítajte dimenziu afinného podpriestoru generovaného sústavou (dimenziu obalu ).
Dané sú body afinného priestoru . Zistite, či sústava bodov je afinne (ne)závislá a vypočítajte dimenziu afinného podpriestoru generovaného sústavou (dimenziu obalu ).
Riešenie.
Množina bodov je afinne nezávislá, ak sústava vektorov
je lineárne nezávislá. Pre súradnice týchto vektorov dostaneme
.
Sústava vektorov W je lineárne nezávislá, ak rovnosť
je splnená práve len pre . V našom prípade to nie je splnené lebo hodnosť matice
je dva. Teda hodnosť je menšia ako počet vektorov, preto sústava je lineárne závislá a teda body sú afinne závisle. Z poslednej matice vyplýva, že dva vektory sú lineárne nezávislé a vektory sú ich lineárne kombinácie. Preto dimenzia podpriestoru je rovná dvom. Parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru môžeme vyjadriť ako
.
To znamená, že body ležia v rovine .
Množina bodov je afinne nezávislá, ak sústava vektorov
je lineárne nezávislá. Pre súradnice týchto vektorov dostaneme
.
Sústava vektorov W je lineárne nezávislá, ak rovnosť
je splnená práve len pre . V našom prípade to nie je splnené lebo hodnosť matice
je dva. Teda hodnosť je menšia ako počet vektorov, preto sústava je lineárne závislá a teda body sú afinne závisle. Z poslednej matice vyplýva, že dva vektory sú lineárne nezávislé a vektory sú ich lineárne kombinácie. Preto dimenzia podpriestoru je rovná dvom. Parametrické vyjadrenie tohto podpriestoru môžeme vyjadriť ako
.
To znamená, že body ležia v rovine .
Poznámky.
- Nech je -rozmerný euklidovský priestor so zameraním a
nech je afinná transformácia. Potom môžeme definovať asociované zobrazenie
afinného zobrazenia aj nasledovne:
, - Asociované zobrazenie je vlastne "reštrikcia" zobrazenia na vektorový priestor. Zobrazuje vektory so zamerania na vektory toho istého zamerania.