Vektorový a afinný priestor
Analytické vyjadrenie
Obraz troch bodov
Nech je daná - tica bodov v euklidovskom priestore taká, že - tica vektorov so zamerania je nezávislá. V tomto prípade sústava tvorí repér tohto priestoru. Takejto - tici bodov budeme hovoriť, že je lineárne nezávislá.
Vo vete "Jednoznačnosť afinného zobrazenia" sme dokázali, že afinné zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi lineárne nezávislých bodov euklidovského priestoru .Dôkaz tohto tvrdenia nájdete aj v práci [Chalmoviansky, 2022].
V ďalšej časti sa zameriame na určenie transformačných rovníc afinného zobrazenia v euklidovskej rovine , v ktorom sú dané dve trojice odpovedajúcich nekolineárnych bodov. Začneme trojicami, ktoré vyhovujú rovnoľahlosti, čo nám uľahčí kontrolu správnosti určenia transformačných rovníc.
Vo vete "Jednoznačnosť afinného zobrazenia" sme dokázali, že afinné zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi lineárne nezávislých bodov euklidovského priestoru .Dôkaz tohto tvrdenia nájdete aj v práci [Chalmoviansky, 2022].
V ďalšej časti sa zameriame na určenie transformačných rovníc afinného zobrazenia v euklidovskej rovine , v ktorom sú dané dve trojice odpovedajúcich nekolineárnych bodov. Začneme trojicami, ktoré vyhovujú rovnoľahlosti, čo nám uľahčí kontrolu správnosti určenia transformačných rovníc.
Riešenie (riešenie pomocou programu GeoGebra
Tu).
Pre bod v rovine platí, že je lineárnou kombináciou bodov , preto platí
, pričom .
V kapitole "Afinné zobrazenie" sme ukázali, že transformačné rovnice afinného zobrazenia v euklidovskom priestore majú tvar
,
kde sú súradnice obrazov vektorov bázy a súradnice obrazu začiatku repéra . Dosaďme súradnice bodov do týchto transformačných rovníc. Po úprave dostaneme dve rovnice o 6 neznámych . Konkrétne to budú rovnice
Postupne ak dosadíme súradnice ďalších bodov dostaneme ďalšie 4 rovnice.
Spolu je to sústava 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Vypíšte všetkých 6 rovníc a potom vyriešte túto sústavu.
Pre bod v rovine platí, že je lineárnou kombináciou bodov , preto platí
, pričom .
V kapitole "Afinné zobrazenie" sme ukázali, že transformačné rovnice afinného zobrazenia v euklidovskom priestore majú tvar
,
kde sú súradnice obrazov vektorov bázy a súradnice obrazu začiatku repéra . Dosaďme súradnice bodov do týchto transformačných rovníc. Po úprave dostaneme dve rovnice o 6 neznámych . Konkrétne to budú rovnice
Postupne ak dosadíme súradnice ďalších bodov dostaneme ďalšie 4 rovnice.
Spolu je to sústava 6 lineárnych rovníc, ktorá vzhľadom na zadanie (nekolineárne body) bude mať práve jedno riešenie. Vypíšte všetkých 6 rovníc a potom vyriešte túto sústavu.
Poznámka.
Nájsť riešenie takejto sústavy je časovo dosť náročná práca, ktorá študentov nemotivuje a navyše ich odpúta od podstaty úlohy– nájsť transformačné rovnice.
Preto s výhodou môžeme použiť nástroje programu GeoGebra (alebo iných softvérov, napr. Matrix). Pomocou GeoGebra vzhľadu "Tabuľka" najskôr „vygenerujeme“ maticu sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou. Do jednotlivých polí v „Tabuľke“ vložíme súradnice bodov pomocou príkazov: , kde je názov bodu, ktorého súadnice vkladáme.
Otvorte si dynamickú tabuľku Tu.
Z tabuľky vidieť, že napr. do poľa „A2“ je vložený príkaz , ktorý predstavuje prvú súradnicu bodu . Tabuľka má ďalšiu veľkú výhodu: Vstupné pole „A2“ je aktívne voči zmene polohy bodu . Ak sa poloha bodu zmení, tak sa automaticky zmení aj príslušné polia tabuľky . Analogicky sa aktualizujú aj zvyšné polia tabuľky. Dynamické vstupy nám teda umožnia aktualizovať maticu sústavy 6 rovníc aj s pravou stranou. Je to matica typu 6×7 s rozsahom je .
Riešenie danej sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou môžeme nájsť pomocou maticového počtu, ktorý je tiež k dispozícii v GeoGebre.
Výsledok.
Transformačné rovnice skúmaného afinného zobrazenia sú prezentované na ďalšom obrázku v ľavej časti obrázka.
Funkčný applet si môžete stiahnuť Tu.
Matica zobrazenia v tomto príklade má tvar ,
čo predstavuje osovú afinitu.
Nájsť riešenie takejto sústavy je časovo dosť náročná práca, ktorá študentov nemotivuje a navyše ich odpúta od podstaty úlohy– nájsť transformačné rovnice.
Preto s výhodou môžeme použiť nástroje programu GeoGebra (alebo iných softvérov, napr. Matrix). Pomocou GeoGebra vzhľadu "Tabuľka" najskôr „vygenerujeme“ maticu sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou. Do jednotlivých polí v „Tabuľke“ vložíme súradnice bodov pomocou príkazov: , kde je názov bodu, ktorého súadnice vkladáme.
Otvorte si dynamickú tabuľku Tu.
Z tabuľky vidieť, že napr. do poľa „A2“ je vložený príkaz , ktorý predstavuje prvú súradnicu bodu . Tabuľka má ďalšiu veľkú výhodu: Vstupné pole „A2“ je aktívne voči zmene polohy bodu . Ak sa poloha bodu zmení, tak sa automaticky zmení aj príslušné polia tabuľky . Analogicky sa aktualizujú aj zvyšné polia tabuľky. Dynamické vstupy nám teda umožnia aktualizovať maticu sústavy 6 rovníc aj s pravou stranou. Je to matica typu 6×7 s rozsahom je .
Riešenie danej sústavy 6 rovníc so 6 neznámymi s pravou stranou môžeme nájsť pomocou maticového počtu, ktorý je tiež k dispozícii v GeoGebre.
Výsledok.
Transformačné rovnice skúmaného afinného zobrazenia sú prezentované na ďalšom obrázku v ľavej časti obrázka.
Funkčný applet si môžete stiahnuť Tu.