Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia (Deliaci pomer bodov).
Nech $\small A, B \in \mathbb E_n$ a $\small C \neq B$ sú tri kolineárne body. Deliacim pomerom bodov $\small A, B,C$ (v tomto poradí) nazývame reálne číslo $\small \lambda$ také, že $\small (C-A) = \lambda (C-B)$. Budeme ho označovať $\small (ABC)$.

Vypočítajte $\small (ABC)$, ak:

1. $\small A = [1, 0, 1], B = [1, 3, -2], C = [1, -3, 4]$
2. $\small A = [1, 1, 1], B = [2, 0, -1], C = AB \cap \alpha , \alpha : 2x -3y + 2z = 0$
3. $\small A = [1, -1], B = A + 2\vec u, C = A- \vec u, \vec u = (1, 2).$

Riešenie.

1. Najskôr je nutné zistiť, či body $\small A,B,C$ sú kolineárne.
   
   Otvorte si applet Tu.
   Pre deliaci pomer $\small \lambda$ musí platiť:
   ($\small \lambda$) $\small (C-A)= \lambda \cdot (C-B) \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} =\lambda \cdot \overrightarrow{BC}$ .
   Potom môžeme spočítať
   $\small \vec{u}=\overrightarrow{AC}=\left([1, -3, 4]-[1, 0, 1]\right) =(0,-3,3);\vec{v}=\overrightarrow{BC}\left([1, 3, -2]-[1, -3, 4] \right) =( 0,-6 ,6)$.
   Po dosadení do vzťahu ($\small \lambda$) dostaneme $\small \lambda=2$.
2. Najskôr určte súradnice priesečníka $\small C$ priamky $\small \overleftrightarrow{AB}$ a roviny $\small \alpha$. Rovnica priamky $\small \overleftrightarrow{AB}$ je daná parametricky
   $\small \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} t+1 \\ -t+1 \\ -2t+1 \end{matrix}\right)$
   Po dosadení do všeobecnej rovnice roviny $\small \alpha : 2x -3y + 2z = 0$ určíme riešenie $\small t=-1$. Spoločný bod $\small C$ má súradnice $\small [0,2,3]$.
   
   Otvorte si applet Tu.
3. Najskôr určte súradnice bodov $\small B,C$.

Nasledujúce obrázky dokumentujú vzťah deliaceho pomeru pre pevne zvolené body $\small A,B$ a premenlivý bod $\small C$. Tento vzťah predstavuje hyperbolickú funkciu.

Otvorte si interaktívnu konštrukciu Tu.

Tvrdenie (Vzťah deliaceho pomeru a lineárnej kombinácie).
Nech $\small C = (1 -t)A + tB,\; t \neq 1$. Potom pre deliaci pomer platí: $\small (ABC) = \frac{t}{t-1}$. Pozrite si grafické zdôvodnenie Tu.

Poznámky.

1. Z definície deliaceho pomeru $\small (C-A) = \lambda (C-B)$ vyplýva, že vektory $\small \vec u = (C-A), \vec v = (C-B)$ sú lineárne závislé a platí $\small \vec u= \lambda \cdot \vec v$.  Preto kvôli korektnosti definície deliaceho pomeru je v definícii uvádzaná podmienka kolineárnosti bodov $\small A,B,C$. Z predchádzajúceho tvrdenia aj z cvičenia 3. tiež vyplýva, že body$\small A,B,C$ sú kolineárne.
2. Z cvičenia 1. vyplýva, že existuje bod $\small S=\frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B$, ktorý budeme nazývať stred dvojice bodov $\small A,B$ (resp. úsečky $\small AB$ ). Ak $\small A \neq B$, tak pre stred $\small S$ platí $\small (ABS)=-1$. Stred dvojice bodov $\small A,B$ budeme označovat’ $\small S_{AB}$.

Tvrdenie.
a) Nech body $\small A,B,C,D \in \mathbb E_n$, potom vektory $\small A-B=D-C$ (sa rovnajú) práve vtedy, keď $\small S_{AC}=S_{BD}$ (stred rovnobežníka).
b) Pre súradnice stredu $\small S_{AB}$ platí: $\left( \frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+ b_2}{2}, \cdot \cdot \cdot ,\frac{a_n+b_n}{2} \right)$.

Tvrdenie (Menelaos).
Nech $\small A,B,C$ sú nekolineárne body a nech $\small A′∈〈BC〉, B′∈〈CA〉, C′∈〈AB〉$ sú body rôzne od bodov $\small A,B,C$. Potom body $\small A′, B′, C′$ sú kolineárne práve vtedy, keď $\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1$.

Otvorte si interaktívnu konštrukciu Tu.

Dôkaz.
Zvoľme afinnú sústavu súradníc tak, že $\small A = (0,0), B = (1,0), C = (0,1)$. Body $\small C′, B′$ majú po rade súradnice $\small (c,0), (0,b)$, pričom $\small c, b ≠ 0, 1$. Rovnica nadroviny (priamky) $\small BC$ má všeobecnú rovnicu $\small x + y − 1 = 0$. Preto $\small A′ = (a,1−a), a ≠ 0, 1$. Z definície deliaceho pomeru dostaneme
$\small (ABC′) = c/(c −1), (BCA′) = (a −1)/a, (CAB′) = (b −1)/b$.
Po jednoduchých úpravách ľahko zistíme, že rovnosť $\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = 1$ je ekvivalentná s rovnosťou $\small ab − ac −bc + c = 0$.
Na druhej strane body $\small A′, B′, C′$ sú kolineárne práve vtedy, keď ležia na jednej priamke. Priamka určená bodmi $\small C′, B′$ má parametrické vyjadrenie
$\small X= B′+ t(C′-B')$.
Bod $\small A′$ leží na tejto priamke práve vtedy, keď platí $\small A'= B′+ t(C′-B')$. Po dosadení súradníc dostaneme sústavu dvoch rovníc o jednej neznámej $\small t$, ktorá má riešenie práve vtedy, keď platí $\small ab − ac −bc + c = 0$.

Tvrdenie (Ceva, čítaj čéva).
Nech body $\small A,B,C$ sú nekolineárne a nech body $\small A′, B′, C′$ ležia na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka $\small ABC$, potom priamky $\small AA',BB',CC'$ sa pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí $\small (ABC′)(BCA′)(CAB′) = −1$.

Dôkaz nájdete Tu na strane 91, konštrukčný dôkaz Tu.