Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech je dané afinné zobrazenie $\small f$, v ktorom sa súradný repér zobrazí na repér $\small \mathcal R' = \left \langle O'; \vec e'_1, \vec e'_2 \right\rangle$. V tejto kapitole sa budeme zaoberať

• obrazom bodu v afinnom zobrazení
• obrazom priamky v afinnom zobrazení
• hľadaním vzoru k obrazu bodu

Poznámky.

• Obraz ľubovoľného bodu $\small A(a_1,a_2)$ v afinnom zobrazení $\small f$ určíme jednoducho tak, že súradnice tohto bodu dosadíme do transformačných rovníc. Dostaneme rovnosti $\small {a'_1 = a \cdot a_1 + c \cdot a_2 +p;\; a'_2 = b \cdot a_1 + d \cdot a_2 + q}$, pričom čísla $\small a'_1,a'_2$ predstavujú súradnice bodu $\small A'$.
• Určiť obraz priamky $\small p=AB$ v afinnom zobrazení znamená určiť rovnicu priamky $\small p'=A'B'$. To môžeme urobiť dvoma spôsobmi.
  1. Ak priamka $\small p$ je určená dvomi rôznymi bodmi $\small A,B$, tak súradnice bodov $\small A,B$ dosadíme do transformačných rovníc afinného zobrazenia. Výpočtom popísanom v predchádzajúcom odseku určíme súradnice bodov $\small A',B'$, ktorými bude určená priamka $\small p'$. Potom určíme napríklad parametrické rovnice priamky $\small p'=A'B'$.
  2. Ak priamka $\small p$ je určená rovnicou (napr. vo všeobecnom tvare $\small { p: a_px + b_py +c_p=0};\;b \neq 0$), tak do transformačných rovníc $\small {x' = ax + cy +p;\; y' = bx + dy + q}$ dosadíme za premenné $\small x,y$ súradnice všeobecného bodu $\small P$ priamky. Tento bod určíme pomocou parametra $\small t$ v tvare $\small P[t,- \frac{at+c}{b}]$. (V prípade. že $\small b=0$ zvolíme parameter $\small y=t$). Po dosadení dostaneme parametrické rovnice obrazu priamky
     $\small {x' = at + c(- \frac{a_pt+c_p}{b_p}) +p;\; y' = bt + d(- \frac{a_pt+c_p}{b_p}) + q}$.
• Nájsť vzor $\small A(a_1,a_2)$ k danému obrazu $\small A'(a'_1,a'_2)$ v afinnom zobrazení $\small f$ určíme tak, že súradnice obrazu bodu $\small a'_1,a'_2$ dosadíme do transformačných rovníc za premenné $\small x',y'$. Dostaneme sústavu dvoch rovních o neznámych $\small x,y$. Riešenie tejto súsatavy predstavuje súradnice hľadaného vzoru.

Príklad.
Dané je afinné zobrazenie obrazom repéra $\small \mathcal R' = \left \langle O'=[ \frac{-1-\sqrt{3}}{2} , \frac{-1+\sqrt{3}}{2}]; \vec e'_1=( \frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2} ), \vec e'_2=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}) \right\rangle$. Určite obraz bodov $\small [-1,1], [-1,-1]$.

Riešenie.
Transformačné rovnice majú tvar
$\small {x' = \frac{1}{2}x +\frac{\sqrt{3}}{2} y -\frac{1+\sqrt{3}}{2} \\ y' = -\frac{\sqrt{3}}{2} x +\frac{1}{2} y + \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$.
Dosadením súradníc $\small [-1,1]$ dostaneme ...
Otvorte si applet Tu.

Príklad.
Dané je afinné zobrazenie obrazom repéra $\small \mathcal R' = \left \langle O'=[ -2 , 2]; \vec e'_1=(2,1), \vec e'_2=(-1,1) \right\rangle$. Určite obraz priamky $\small 2x+3y+1=0$ a priamky $\small x=1$.

Riešenie
Analytické riešenie: Transformačné rovnice sú
$\small {x' = 2 x - y -2\\ y' = x + y + 2}.$

1. Pre priamku $\small 2x+3y+1=0$ má jej ľubovoľný bod $\small P$ súradnice $\small P[t,- \frac{2t+1}{3}]$ Po dosadení do transformačných rovníc dostaneme sústavu parametrických rovníc
   $\small {x' = 2 t - (- \frac{2t+1}{3}) -2\\ y' = t + (- \frac{2t+1}{3}) + 2}.$
   Výsledok: po úprave na všeobecný tvar dostaneme rovnicu obrazu priamky: $\small 3x-24y+45= 0$
   Na syntetické riešenie použite applet Tu.
2. Keďže každý bod priamky \small x=1 \) má prvú súradnicu rovnú 1, tak stačí hodnotu \small x=1 \) dosadiť do transformačných rovníc a dostaneme rovnice $\small {x' = - y\;\; y' = y + 3}.$ Po dosadení do druhej rovnice $\small y=-x'$ dostaneme rovnicu obrazu priamky $\small x+y-3= 0$.

Príklad.
Dané je afinné zobrazenie transformačnými rovnicami
$\small {x' = 3x + y − 6 \\ y' = x + y + 1}$.
Ktoré body sa zobrazia do bodov [9, 8] a [−6, 1]?

Riešenie
Súradnice bodu [9, 8] dosadíme do transformačných rovníc za premenné $\small x',y'$. Riešením je dvojica $\small \left\{ x_1 = 4, x_2 = 3 \right\}$. Otvorte si applet na riešenie rovníc Tu.