Vektorový a afinný priestor: Samodružnosť

Analytické vyjadrenie

Samodružnosť

Definícia (Samodružný bod).
Bod

$\small M$ v afinnom zobrazení

$\small f:\mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_n$ je samodružný práve vtedy, ak sa v zobrazení

$\small f$ zobrazí sám na seba

$\small f(X) = X$ .

Samodružné body afinnej transformácie pre

$\small n=2$ jednoducho nájdeme ako riešenie sústavy dvoch rovníc

$\small x=a \cdot x+c \cdot y+p \\ \small y=b \cdot x+d \cdot y+q.$
Vyriešiť tieto rovnice je jednoduché, ak poznáme koeficienty a,b,c,d,p,q.

Poznámky.
Z pohľadu syntetickej geometrie táto sústava dvoch rovníc predstavuje dve priamky v rovine. Vyriešiť sústavu znamená teda nájsť spoločné body dvoch priamok a to môže byť

prázdna množina – vtedy afinné zobrazenie nemá samodružný bod
existuje priesečník priamok – afinné zobrazenie má jeden samodružný bod
priamky sú totožné - afinné zobrazenie má priamku samodružných bodov.

Cvičenie.
Nájdite samodružné body afinného zobrazenia, v ktorom sa súradný repér zobrazí na repér

$\small \mathcal R' = \left \langle O'[2,2]; \vec e'_1(0,-1), \vec e'_2(-1,0) \right\rangle$ .

Transformačné rovnice budú mať tvar

$\small x=\; \; 0 \cdot x-1 \cdot y+2 \\ \small y=-1 \cdot x+0 \cdot y+2.$
Nasledujúci obrázok predstavuje grafickú interpretáciu tohto afinného zobrazenie v rovine. Bod

$\small M(x(M),y(M))$ je pohyblivý, ktorého obraz je bod

$\small M'$ . Bod

$\small M'$ má v afinnom zobrazení súradnice

$\small M'((a x(M) + c y(M) + p, b x(M) + d y(M) + q)$ , kde (\small a,b,c,d,p,q\) sú súradnice obrazu repéra. Applet k tomuto cvičeniu si môžete otvoriť Tu.

Samodružné body afinnej transformácie jednoducho nájdeme ako riešenie rovnice

$\small (\begin{array}{} x & y \end{array} )=\left( \begin{array}{} x & y \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{} 2 & 2\end{array} \right)$ .
Po rozpísaní dostaneme sústava dvoch rovníc, ktorá bude mať tvar

$\small x=0 \cdot x- y+2 \\ \small y=- x+0 \cdot y+2$
Ľahko nahliadneme, že rovnice sú lineárne závislé (dokonca rovné). Preto množina bodov, ktoré sú riešením danej sústavy je priamka

$\small y=-x+2$ . Presnejšie: každý bod priamky

$\small {y=-x+2}$
je samodružný. Zobrazenie, ktoré má priamku bodovo samodružnú, je buď osová súmernosť alebo osová afinita. V našom prípade je to osová súmernosť s osou súmernosti

$\small y=-x+2$ .

Úlohy.
Určite samodružné body afinného zobrazenia určeného transformačnými rovnicami: