Vektorový a afinný priestor
Analytické vyjadrenie
Obraz repéra
Z analytického vyjadrenia afinného zobrazenia vyplýva, že takéto afinné zobrazenie je jednoznačne určené, ak poznáme obraz súradného repéru v tomto zobrazení. Analytické vyjadrenie daného zobrazenia je určené vzťahom (AV) v kapitole "Analytické vyjadrenie".
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny , ktorá má repér . Nech tento súradný repér v afinnom zobrazení sa zobrazí na repér . Vektory sú lineárne nezávislé, preto aj ich obrazy sú zrejme lineárne nezávislé. Dokážte to!
V tejto kapitole sa budeme zaoberať transformáciami euklidovskej roviny , ktorá má repér . Nech tento súradný repér v afinnom zobrazení sa zobrazí na repér . Vektory sú lineárne nezávislé, preto aj ich obrazy sú zrejme lineárne nezávislé. Dokážte to!
Maticový zápis pre rovinné afinné zobrazenie určené obrazom repéra bude mať nasledovný tvar
alebo ,
kde sú obrazy súradnicových vektorov v asociovanom zobrazení a je obraz začiatku súradnej sústavy v afinnom zobrazení .
alebo ,
kde sú obrazy súradnicových vektorov v asociovanom zobrazení a je obraz začiatku súradnej sústavy v afinnom zobrazení .
Matica sa nazýva transformačná matica afinného zobrazenia .
Pri určovaní afinného zobrazenia, ktoré je určené obrazom , môžeme transformačné rovnice určiť priamo pomocou súradníc obrazu počiatku a súradníc vektorov . Súradnice obrazu ľubovoľného bodu roviny potom môžeme získať tak, že do transformačných rovníc dosadíme súradnice bodu .
Pri určovaní afinného zobrazenia, ktoré je určené obrazom , môžeme transformačné rovnice určiť priamo pomocou súradníc obrazu počiatku a súradníc vektorov . Súradnice obrazu ľubovoľného bodu roviny potom môžeme získať tak, že do transformačných rovníc dosadíme súradnice bodu .
Príklad - obraz bodu a kružnice euklidovskej roviny.
- Určte transformačné rovnice afinného zobrazenia, ktoré postupne zobrazuje body súradného repéra do bodov v tomto poradí.
- Určte obraz ľubovoľného bodu .
- Určte obraz kružnice pomocou nástroja "Množina bodov".
- Pokúste sa toto afinné zobrazenie geometricky interpretovať. Príklad je prevzatý z práce (Chalmoviansky, Cvičenie 29).
Riešenie.
- Najskôr musíme určiť obraz súradného repéra . Keďže začiatok súradnej sústavy bod
je samodružný, tak pre obrazy vektorov bude platiť .
Transformačné rovnice určíme dosadením súradníc obrazov vektorov
a súradníc bodu do sústavy dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych
Dostaneme transformačné rovnice
- Súradnice obrazu ľubovoľného bodu určíme dosadením jeho súradníc do transformačných rovníc. Pre súradnice
dostaneme
Výsledok napríklad pre bod je . - Samostatná práca: V GeoGebra applete (upravte applet "Kompletné grafické riešenie ..." z príkladu Tri body) si zvoľte si ľubovoľnú kružnicu a na nej si zvoľte ľubovoľný "Bod na objekte" .
Potom vo vlastnostiach bodu v definícii zadajte P=L. Nakoniec aktivujte nástroj "Množina bodov" a kliknite postupne na bod
a potom na bod .
- Na základe obrazu kružnice ide o osovú afinitu, ktorej os je x-ová súradná os. Ukážte, že každý bod x-ovej súradnej osi je samodružný.
- Kompletná konštrukcia - "Dynamický repér" Tu.