Vektorový a afinný priestor
Analytické vyjadrenie
Nech je v je afinné zobrazenie , v ktorom sa repér
zobrazí na repér , pričom pre súradnice obrazov platí
.
Nech je bod euklidovského priestoru, potom pre jeho obraz bude platiť
(AV) .
.
Nech je bod euklidovského priestoru, potom pre jeho obraz bude platiť
(AV) .
Zápis (AV) nazývame analytické vyjadrenie afinného zobrazenia vzhľadom k afinnej súradnicovej sústave
.
Namiesto označenia budeme tiež používať označenie
. V ďalších kapitolách sa zameriame na afinné zobrazenia v euklidovskej rovine,
pričom upriamime pozornosť na analytické vyjadrenia zhodných (zhodnostných) zobrazení v rovine.
Úlohy.
Riešenie úlohy č. 1.
Pre identitu platí, že každý bod roviny sa zobrazí sám na seba, t. j . Označme súradnice vzoru ako usporiadanú dvojicu a súradnice jeho obrazu v zobrazení ako . Keďže ide o identické zobrazenie, tak musí platiť
.
Rovnosť usporiadaných dvojíc nastane práve vtedy, keď sa rovnajú odpovedajúce zložky. Teda, keď súčasne platia rovnosti .
Táto jednoduchá sústava dvoch rovníc je analytickým vyjadrením identity. Ak zapíšeme získanú sústavu dvoch rovníc v maticovom tvare, tak získame rovnicu v tvare
alebo v riadkovom zápise (maticou násobíme sprava!)
.
Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovského priestoru .
Riešenie úlohy č. 2 je v nasledujúcej kapitole.
Pre identitu platí, že každý bod roviny sa zobrazí sám na seba, t. j . Označme súradnice vzoru ako usporiadanú dvojicu a súradnice jeho obrazu v zobrazení ako . Keďže ide o identické zobrazenie, tak musí platiť
.
Rovnosť usporiadaných dvojíc nastane práve vtedy, keď sa rovnajú odpovedajúce zložky. Teda, keď súčasne platia rovnosti .
Táto jednoduchá sústava dvoch rovníc je analytickým vyjadrením identity. Ak zapíšeme získanú sústavu dvoch rovníc v maticovom tvare, tak získame rovnicu v tvare
alebo v riadkovom zápise (maticou násobíme sprava!)
.
Určte analytické vyjadrenie identického zobrazenia euklidovského priestoru .
Riešenie úlohy č. 2 je v nasledujúcej kapitole.
Rozšírené afinné súradnice.
Pri riešení príkladu "Tri body" sme použili matice, ktorých posledné riadky korešpondovali s podmienkou lineárnej kombinácie bodov: . V dôsledku tohto príkladu sme vlastne použili rozšírené afinné súradnice, pomocou ktorých možno zjednodušiť zápis analytické vyjadrenie afinného zobrazenia. Rozšírené afinné súradnice sprehľadnia zápis zobrazení. Súradnice bodu nahradíme súradnicami a súradnice vektora nahradíme súradnicami . Pre takto zavedené rozšírenie platí obvyklá aritmetika s bodmi a vektormi z euklidovských priestorov, ako aj počítanie s lineárnymi kombináciami.
V rozšírených afinných súradniciach možno potom písať analytické vyjadrenie zobrazenia takto
,
pričom má ten istý význam ako pri afinných súradniciach.
Pri riešení príkladu "Tri body" sme použili matice, ktorých posledné riadky korešpondovali s podmienkou lineárnej kombinácie bodov: . V dôsledku tohto príkladu sme vlastne použili rozšírené afinné súradnice, pomocou ktorých možno zjednodušiť zápis analytické vyjadrenie afinného zobrazenia. Rozšírené afinné súradnice sprehľadnia zápis zobrazení. Súradnice bodu nahradíme súradnicami a súradnice vektora nahradíme súradnicami . Pre takto zavedené rozšírenie platí obvyklá aritmetika s bodmi a vektormi z euklidovských priestorov, ako aj počítanie s lineárnymi kombináciami.
V rozšírených afinných súradniciach možno potom písať analytické vyjadrenie zobrazenia takto
,
pričom má ten istý význam ako pri afinných súradniciach.