Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech $\small \mathbb{E}_n$ je $\small n$-rozmerný euklidovský priestor so zameraním $\small V_n(\mathbb R)$ a nech $\small P, Q, P_1,P_2,...,P_m$ sú body tohto euklidovského priestoru.

Definícia.
Afinná (barycentrická resp. lineárna) kombinácia bodov. Nech $\small P, P_1,P_2,...,P_m \in \mathbb{E}_n$, tak súčtom (afinnou kombináciou bodov) $\small \alpha_1 P_1+...+ \alpha_m P_m$ rozumieme bod
(AK)$\small P + \alpha_1(P_1 − P) + · · · + \alpha_m(P_m − P)$,
pričom pre $\small α_1, . . . , α_m \in \mathbb R$ musí platiť $\small α_1+ . . . + α_m = 1$.

Dôkaz korektnosti definície.
Treba ukázať, že afinná kombinácia (AK) nezávisí od voľby bodu $\small P$.

Nech $\small α_1+ . . . + α_m = 1$ a nech $\small Q \in \mathbb{E}_n$ je ľubovoľný bod. Upravujme afinnú kombináciu
$\small Q+ \alpha_1(P_1-Q) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-Q) =$
aplikovaním tvrdenia $\small \forall P,Q\in \mathbb{E}_n:  Q=P+(Q-P)$ dostaneme
$\small =P+(Q-P) + \alpha_1(P_1-(P+(Q-P)) + \cdot \cdot \cdot +\alpha_m(P_m-(P+(Q-P)) =$
$\small=P + (Q-P) - \alpha_1(Q-P) + \cdot \cdot \cdot - \alpha_m(Q-P)+ \alpha_1(P_1-P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m-P) =$
$\small=P + (Q-P)- [(\alpha_1 + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m)(Q - P)] + [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =$
$\small = P + [(Q-P)- 1 . (Q − P)]+ [\alpha_1(P_1 - P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m - P)] =$
$\small = P + \alpha_1(P_1 − P) + \cdot \cdot \cdot + \alpha_m(P_m − P)$.
Čo bolo treba dokázať.

Otvorte si applet Tu.

Usporiadaná množina bodov $\small \pmb S = \left\{O, E_1, . . . , E_n \right\}$ afinného priestoru $\small \mathcal{A}^n$ sa nazýva simplex priestoru $\small \mathcal{A}^n$, kde

• $\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle$ je repér priestoru $\small \mathcal{A}^n$,
• $\small \overrightarrow{OE_i} = \pmb {e_i}$ sú ortonormálové vektory.
Ľubovoľný bod $\small X$ má v tomto repéri súradnice $\small [x_1, . . . , x_n]$.

Teda môžeme zapísať $\small \overrightarrow{OX} = x_1\pmb {e_1} + . . . + x_n\pmb {e_n}=x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}$.

Veta bod ako kombinácia simplexu.
Ľubovoľný bod $\small X \in \mathcal{A}^n$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
$\small X=x_oO + x_1E_1 + · · · + x_nE_n$,
kde $\small x_o + x_1 + · · · + x_n = 1$.

Dôkaz.
Z vlastnosti (AP1) afinného priestoru vyplýva, že pre ľubovoľný (každý) bod $\small Q \in \mathcal{A}^n$ platí
(Q)$\small \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QX}$.
Vektor $\small \overrightarrow{OX}$ vzhľadom na repér $\small \left\langle O, \pmb {e_1}, . . . ,\pmb {e_n} \right\rangle$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia $\small \overrightarrow{OX}= x_1\overrightarrow{OE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{OE_n}$.
Využitím vzťahov $\small \overrightarrow{OE_i}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_i}$ upravme vzťah (Q)
$\small \overrightarrow{OX}=x_1(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_1})+...+ x_n(\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QE_n})$,
odkiaľ
$\small \overrightarrow{OX}=(x_1+ . . . + x_n)\overrightarrow{OQ}+x_1\overrightarrow{QE_1}+ . . . + x_n\overrightarrow{QE_n}$,
Keďže predchádzajúci vzťah nie je závislý od bodu $\small Q$, a keď položíme $\small x_0=1-(x_1+ . . . + x_n)$. Potom dostaneme
$\small X=O+(Q-O)+x_1(E_1-Q)+ . . . + x_n(E_n-Q)$
$\small X=Q-(x_1Q+ . . . + x_nQ)+(x_1E_1+ . . . + x_nE_n)$
teraz položíme $\small Q=O$ a dostaneme výsledok
$\small X=x_0O+x_1E_1+ . . . + x_nE_n$
za predpokladu, že $\small x_0+x_1+ . . . + x_n=1$.

Pretože rovnosti v dôkaze predošlej vety nezávisia na voľbe bodu $\small Q \in \mathcal{A}$, tak ku každému usporiadanému simplexu $\small S$ a bodu $\small X$ afinného priestoru $\small \mathcal{A}^n$ existuje jediná sústava skalárov $\small {x_o, . . . , x_n}$ tak, že platí rovnosť uvedená v tejto vete. Zrejme platí aj obrátená veta: Každá sústava skalárov $\small {x_o, . . . , x_n}: \; \;x_0+x_1 + · · · + x_n=1$ jednoznačne určuje bod $\small X \in \mathcal{A}^n$, pre ktorý platí tvrdenie vety.

Z dôkazu predchádzajúcej vety vyplýva, že súčet $\small x_0+x_1 + · · · + x_n$ je rovný jednej. Preto podmienka $\small α_1+ . . . + α_m = 1$ v definícii afinnej kombinácii bodov je dôležitá a nutná.

Cvičenie.

1. Nech $\small A,B \in \mathbb E_2$ sú dva rôzne body. Zistite, aký bod predstavuje lineárna kombinácia $\small \frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B$.
2. Nech $\small A,B,C \in \mathbb E_3$ sú tri nekolineárne body. Zistite, ktorý bod predstavuje lineárna kombinácia $\small \frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}C$. Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie vrcholov trojuholníka $\small ABC$ ľubovoľný vnútorný bod tohto trojuholníka.
3. ♥ Vyjadrite pomocou lineárnej kombinácie nezávislých bodov $\small A_0,A_1,...,A_k \in \mathbb{E}_{k+1}$ ľubovoľný bod podpriestoru $\small \mathbb{E}_{k+1}$ určeného týmito bodmi.

Riešenie.

1. Upravujme
   $\small \frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B=A-\frac{1}{2}A+ \frac{1}{2}B=A+\frac{1}{2}(B-A)$,
   čo predstavuje stred úsečky $\small A,B$. Zobrazte túto situáciu v GeoGebre.
2. Znázornite túto situáciu v GeoGebre, otvorte si zadanie Tu. Riešenie Tu.
3. Podľa vety "bod ako kombinácia simplexu" pre bod $\small X$ podpriestoru $\small \mathbb{E}_{k+1}$ a jeho simplex $\small \pmb S = \left\{O, A_1, . . . , A_k \right\}$ platí
   (Mx)$\small X=[1-(x_1+· · · + x_k)]O + x_1A_1 + · · · + x_kA_k$.
   Po jednoduchej úprave dostaneme
   $\small X=O + x_1(A_1-O) + · · · + x_n(A_n-o)$,
   čo predstavuje bod podpriestoru $\small \mathbb{E}_{k+1}$.
   • Pre podpriestor $\small \mathbb{E}_2$ množina všetkých bodov $\small X$ spĺňajúcich podmienku (Mx) je zrejme priamka (útvar určený dvoma nezávislými bodmi). Jej parametrické vyjadrenie má tvar
     $\small X=A_0+t(A_1-A_0)$.
     Po úprave dostaneme
     $\small X=(1-t) \cdot A_0+t \cdot A_1$,
     čo predstavuje lineárnu kombináciu bodov $\small A_0,A_1$.
   • Pre podpriestor $\small \mathbb{E}_3$ to bude rovina (útvar určený tromi nezávislými bodmi). Jej parametrické vyjadrenie má tvar 
     $\small X=A_0+r(A_1-A_0)+s(A_2-A_0)$.
     Po úprave dostaneme
     $\small X=(1-r-s) \cdot A_0+r \cdot A_1 +s \cdot A_2$,
     čo predstavuje lineárnu kombináciu bodov $\small A_0,A_1,A_2$.