Vektorový a afinný priestor
Vektorový priestor
Súradnice v báze
Príklad.
Riešenie.
- Zrejme
.
Toto sú súradnice vektora vzhľadom k jednotkovej báze. Je dôležité dodržať poradie prvkov bázy . - Určiť súradnice vzhľadom k báze znamená vektor vyjadriť ako lineárnu kombináciu prvkov bázy .
Opäť treba dať pozor na poradie prvkov bázy. Musíme nájsť , pre ktoré platí:
( i) resp.
( ii): .
Úlohu môžeme riešiť ako sústavu rovníc (vyriešte úlohu týmto spôsobom).
(iii):
alebo rovnosť (ii) prepíšeme na maticový tvar (vektory bázy zapisujeme do stĺpcov! Prečo?) takto:
(iv):
Vyjadriť vektor (transponovaný zápis vektora) môžeme tak, že obe strany rovnice (iv) vynásobíme zľava inverznou maticou
.
Inverznú maticu určíme napríklad pomocou programu GeoGebra, otvorte si applet "inverzná matica" Tu. Po vynásobení zľava obidvoch strán rovnice (iv) dostaneme
.
Riešením je vektor . Otvorte si výpočty v GeoGebre Tu.
Nasledujúci applet demonštruje určenie súradníc vektora v báze
Otvorte si applet Tu.
Riešením sú súradnice . Vypočítajte ich pomocou maticového tvaru, pričom využite program Matrix calculator.
Otvorte si applet Tu.
♥ Príklad.
Je dané lineárne zobrazenie , ktoré jednotkovú bázu zobrazí na bázu priestoru . Nájdite obraz vektora v tomto zobrazení.
Je dané lineárne zobrazenie , ktoré jednotkovú bázu zobrazí na bázu priestoru . Nájdite obraz vektora v tomto zobrazení.
Poznámka
Nech sú vektorové priestory nad telesom . Zobrazenie sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:
kde a .
Nech sú vektorové priestory nad telesom . Zobrazenie sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:
kde a .