Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Nech $\small V_n(\mathbb R)$ je $\small n$ - rozmerný vektorový priestor so skalárnym súčinom $\small (\pmb u , \pmb v)$ a nech je daná množina $\small M_k=\lbrace{\pmb {u_1} , \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k}}\rbrace$ lineárne nezávislých vektorov tohto konečno rozmerného priestoru ($\small  \pmb {u_i} \in V_n ;i=1,2, \cdot \cdot \cdot ,k \leq n$).

Definícia.
Schmidtov ortogonalizačný proces je proces, ktorým z množiny $\small n$ lineárne nezávislých vektorov vytvárame ortonormálnu bázu $\small n$ - rozmerného vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$.

Poznámka.
Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a všetky sú navzájom kolmé (ortogonálne).
Existenciu takejto ortonormálnej bázy zabezpečuje Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.

Celý proces vytvárania ortonormálnej bázy možno popísať algoritmicky/rekurentne takto:

1. V prvom kroku Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa za základ stanoví prvý vektor z danej množiny vektorov $\small M$. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných.
2. Ďalším $\small i$-tym krokom je samotná ortogonalizácia $\small i$-teho vektora. Nasledujúci $\small i$-ty vektor určíme ako lineárnu kombináciu $\small i$-teho vektora z danej množiny vektorov $\small M$ a už $\small (i-1)$ vytvorených vektorov.
3. Nakoniec prevedieme normalizáciu vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu.

Veta - Schmidtov ortogonalizačný proces.
Nech $\small V(\mathbb R)$ je vektorový priestor so skalárnym súčinom $\small (\pmb u . \pmb v)$ a nech $\small \pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_k} \in V$ sú lineárne nezávislé vektory. Potom existujú ortonormálne vektory $\small \pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_k} \in V$, pre ktoré platí
$\small [{\pmb {e_1}, \pmb {e_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {e_i}}] = [{\pmb {u_1}, \pmb {u_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {u_i}}], ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}$

Dôkaz.
A. Proces ortogonalizácie.

1. Najprv určíme prvý vektor, pričom položíme
   $\small \pmb {e_1}=\pmb {u_1}$.
2. Druhý vektor určíme ako lineárnu kombináciu $\small \pmb e_2=\pmb u_2+k \pmb e_1$ , pričom podľa predpokladu platí $\small (\pmb e_1,\pmb e_2)=0$. Po skalárnom vynásobení rovnice $\small \pmb e_2=\pmb u_2+k \pmb e_1$ vektorom $\small \pmb e_1$ dostaneme riešenie
   $\small k=-\large\frac{(\pmb e_1,\pmb u_2) }{(\pmb e_1,\pmb e_1)}$.
   Po dosadení dostaneme riešenie
   $\small \pmb e_2=\pmb u_2-\large\frac{(\pmb e_1,\pmb u_2) }{(\pmb e_1,\pmb e_1)}\small \pmb e_1$.
3. Pre tretí vektor bude lineárna kombinácia v tvare $\small \pmb e_3=\pmb u_3+l\pmb e_2+m \pmb e_1$, pričom platí $\small (\pmb e_1,\pmb e_3)=0;(\pmb e_2,\pmb e_3)=0$. Po skalárnom vynásobení rovnice postupne vektormi $\small \pmb e_1,\pmb e_2$ dostaneme riešenie
   $\small l=-\large\frac{(\pmb e_1,\pmb u_3) }{(\pmb e_1,\pmb e_1)}$; $\small m=-\large\frac{(\pmb e_2,\pmb u_3) }{(\pmb e_2,\pmb e_2)}$.


4. Pomocou matematickej indukcie dokážeme, že pre ďalšie vektory platia vzťahy
   $\small \pmb e_k=\pmb u_k-\large{\frac{(\pmb e_1,\pmb u_k) }{(\pmb e_1,\pmb ;e_1)}} \small \pmb e_1-\large\frac{(\pmb e_2,\pmb u_k) }{(\pmb e_2,\pmb e_2)} \small \pmb e_2-···-\large\frac{(\pmb e_{k-1},\pmb u_k) }{(\pmb e_{k-1},\pmb e_{k-1})} \small \pmb e_{k-1}$.
5. Teraz stačí len "znormovať" tieto vektory. Dostaneme jednotkové vektory $\large \frac{\pmb {e_1}}{||\pmb {e_1}||} , \cdot \cdot \cdot, \frac{\pmb {e_k}}{||\pmb {e_k}||} \small \in \small V$

Cvičenie.

1. Vo vektorovom priestore usporiadaných trojíc reálnych čísel sú dané vektory $\small \pmb u_1=(1,-1,1),\pmb u_2=(0,1,2),\pmb u_3=(1,1,0)$. Vykonajte Schmidtov ortogonalizačný proces.
2. Určte aspoň jednu ortonormálnu bázu vektorového podpriestoru $\small \alpha \subset \ V_3(\mathbb R)$, ktorý je určený (smerom-rovinou) $\small \alpha: 3x-y-z=0$.

Riešenie.

1. Zvoľme prvý vektor ortogonálnej bázy $\small \pmb b_1=\pmb u_3=(1,1,0)$ (zrejme nie je jednotkový, jeho normalizáciu urobíme v závere riešenia). Druhý vektor $\small \pmb b_2$ určíme zo vzťahu
   (k)$\small \pmb b_2= \pmb u_2+k(1,1,0)$,
   kde $\small \pmb u_2=(0,1,2)$. Rovnicu (k) skalárne vynásobíme vektorom $\small \pmb b_1=(1,1,0)$. Podľa predpokladu v Schmidtovom ortogonalizačnom procese musia byť vektory $\small \pmb b_1,\pmb b_2$ na seba kolmé, teda musí pre ich skalárny súčin platiť rovnosť $\small ((0,1,2),\pmb b_2)=0$. Zároveň platí $\small ((1,1,0),(1,1,0))=2$. Po dosadení do (k) môžeme určiť/vypočítať koeficient
   $\small k=-\frac{1}{2}$, odkiaľ dostaneme pre vektor $\small \pmb b_2$
   $\small \pmb b_2= (-\frac{1}{2},\frac{1}{2},2)$.
   Tretí vektor určíme zo vzťahu
   $\small \pmb b_3= (1,-1,1) + r(1,1,0)+s(-1,1,4)$
   (zobrali sme 2-násobok druhého vektora $\small 2\pmb b_2$). Ľahko nahliadneme, že $\small r=0, s=-\frac{1}{9}$, odkiaľ $\small \pmb b_3=(10,-10,5)$. Zrejme vektory $\small \pmb b_1,\pmb b_2,\pmb b_3$ sú na seba kolmé a stačí ich znormovať.
   V prípade, že by sme zvolili $\small \pmb b_1=\pmb u_1=(1,-1,1)$ dostali by sme bázu $\small (1,-1,1),(-1,4,5), (3,2,-1)$, ktorá je tiež ortogonálna. Teda výsledná báza závisí od voľby poradia vektorov $\small \pmb b_1,\pmb b_2,\pmb b_3$.
2. Stačí určiť smerové vektory danej roviny, ktoré patria do vektorového priestoru určeného danou rovinou (do jej zamerania). Sú to napríklad vektory $\small \vec u=(0,-2,2),\vec v=(1,2,1)$.
   
   Otvorte si dynamickú konštrukciu pre ortogonalizačný proces Tu.
   Potom realizujte Schmidtov ortogonalizačný proces a utvorte ortogonálnu bázu skúmaného vektorového podpriestoru.

Preštudujte si študijný text o kolmých vektorových podpriestoroch v práci:
Monoszová, G.: Analytická geometria 2 - Kapitola III. FPV UMB B. Bystrica. Časť II. 2. Totalne kolmé vektorové priestory. Kolmé vektorové priestory.