Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definície - norma vektora, uhol vektorov na reálnom vektorovom priestore $\small V(\mathbb R)$ so skalárnym súčinom $\small (\pmb u . \pmb v)$.

1. Pod normou (veľkosťou) vektora rozumieme druhú odmocninu skalárneho súčinu vektora $\pmb u$ samého so sebou. Normu vektora budeme označovať $\small ||\pmb u||$, teda
   $\small ∥\pmb u∥ = \sqrt{\pmb u.\pmb u}$
2. Uhlom nenulových vektorov $\small \pmb u, \pmb v \in V(\mathbb R)$ rozumieme číslo $\phi$, pre ktoré platí
   $\cos \phi = \large {\frac{(\pmb u .\pmb v)}{∥\pmb u∥ .∥\pmb v||}}$,$\small 0 \leq \phi \leq \pi$
   Ku korektnosti definície je nutné ukázať, že $\small {-1} \leq \large {\frac{(\pmb u .\pmb v)}{∥\pmb u∥ .∥\pmb v∥}} \leq \small {1}$. Dokážte to s využitím Cauchy-Schwarzovej nerovnosti.

Tvrdenia.

1. Cauchy-Schwarzova nerovnosť
   Pre ľubovoľné dva vektory $\small \pmb u, \pmb v \in V(\mathbb R)$ platí
   $\small |(\pmb u,\pmb v)| ≤ ∥\pmb u∥ . ∥\pmb v∥$,
   pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory $\small \pmb v,\pmb u$ sú lineárne závislé (tj. jeden z nich je násobkom toho druhého).
2. Nulový vektor $\small \vec 0 ∈ \small \mathbb R^n$ je kolmý na ľubovoľný vektor $\small \pmb v ∈ \small \mathbb R^n$. Vektory štandardnej bázy $\small \left\langle \pmb e_1, . . . , \pmb e_n \right\rangle$ sú navzájom kolmé.

Dôkaz - Cauchy-Schwarzovej nerovnosti.

1. Pre lineárne závislé vektory $\small \pmb u, \pmb v \in V(\mathbb R)$ musí existovať nenulové reálne číslo $\small a$, pre ktoré platí $\small \pmb u= a\pmb v$. Ak sú vektory nezávislé tak, pre každé nenulové reálne číslo $\small a$ vektor $\small \pmb u - a\pmb v$ je nenulový. Zrejme druhá mocnina jeho normy je $\small {∥\pmb u-a\pmb v∥}^2>0$ a nie je rovná nule. Podľa definície normy rozpíšeme ľavú stranu nerovnosti ako
   $\small (\pmb u-a\pmb v).(\pmb u-a\pmb v)>0$
   Skalárny súčin je symetrický a distributívny, preto po úprave dostaneme kvadratickú nerovnicu .
   $\small (\pmb u.\pmb u)-2a.(\pmb u.\pmb v)+a^2(\pmb v.\pmb v)>0$
   Ľavá strana nerovnice predstavuje kvadratický trojčlen v premennej $\small a$, ktorý nemá reálne korene (pre ľubovoľnú hodnotu $\small a$ je trojčlen > 0). Jej diskriminant musí byť záporný, teda platí
   $\small D= [−2(\pmb u.\pmb v)]^2−4∥\pmb u∥^2∥\pmb v∥|^2 < 0$
   Odtiaľ už ľahko dostaneme $\small [−2(\pmb u.\pmb v)]^2 < 4∥\pmb u∥^2∥\pmb v∥^2$ a po odmocnení $\small |(\pmb u.\pmb v)| < ∥\pmb u∥.∥\pmb v∥$.
2. Dôkaz pre lineárne závislé vektory prenechávame čitateľovi. Zrejme bude platiť rovnosť strán.

Tvrdenia.
Nech $\small V(\mathbb R)$ je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom.

1. Trojuholníková nerovnosť.
   $\small \forall \pmb u,\pmb v \in V(\mathbb R): ∥\pmb u+\pmb v∥ \leq ∥\pmb u∥∥\pmb v∥$,
   pričom rovnosť nastane práve vtedy, keď vektory $\small \pmb v,\pmb u$ sú lineárne závislé (tj. jeden z nich je násobkom toho druhého).
2. Pytagorova veta.
   $\small \forall \pmb u,\pmb v \in V(\mathbb R): ∥\pmb u+\pmb v∥^2 = ∥\pmb u∥^2+∥\pmb v∥^2$.
3. Kosínusová veta.
   Pre ľubovoľné dva vektory $\small \pmb u, \pmb v \in V(\mathbb R)$, ktorých uhol je $\phi$ platí
   $\small ∥\pmb u+\pmb v∥^2 = ∥\pmb u∥^2+∥\pmb v∥^2-2∥\pmb u∥∥\pmb v∥\cos \phi$.

Dôkazy.

1. Na úrovni VŠ použite Cauchy-Schwarzovu nerovnosť. Podrobné dôkazy nájdete v
   "Sbírce řešených úloh Katedřy didaktiky fyziky Matematicko-fyzikální fakulty UK Praha". Tu.
   Vezmite normu (druhú mocninu normy) na ľavej strane nerovnosti a prepíšte ju podľa definície pomocou skalárneho súčinu. Výraz zjednodušte vďaka linearite a symetrii skalárneho súčinu.
   Napr. pre trojuholníkovú nerovnosť upravte na: $\small ∥\pmb u+\pmb v∥^2=∥\pmb u∥^2+2(\pmb u.\pmb v)+∥\pmb v∥^2$.
   Ďalej aplikujte nerovnosť $\small \forall a \in \mathbb R :a \leq |a|$, následne použite Cauchy-Schwarzovú nerovnosť a nakoniec odmocnite.
2. Na úrovni SŠ použite Cauchy-Schwarzovu nerovnosť ale pre prípad vektorového priestoru $\small V_3(\mathbb R)$ so štandardnou ortonormálnou bázou $\small \left\langle e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1) \right\rangle$. Pre vektory $\small \pmb u =(u_1,u_2,u_3), \pmb v=(v_1,v_2v_3) \in V(\mathbb R)$ je skalárny súčin definovaný ako
   $\small (\pmb u . \pmb v)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$.

Cvičenie.

1. Skalárny súčin je definovaný na $\small \mathbb R^3$ takto:
   $\small (\pmb x . \pmb y) = 3x_1 y_1+2x_2 y_2+x_3 y_3$.
   pre $\small \pmb x = [x_1, x_2, x_3], \pmb y = [y_1, y_2, y_3] \in \mathbb R^3$. Určte číslo $\small a \in R$ tak, aby vektory $\small \pmb x = [a-1, 3, a+1], \pmb y = [-4, -a, 3a]$ boli na seba kolmé v zmysle definície kolmosti vektorov. Aký reálny uhol zvierajú tieto vektory v euklidovskom 3-rozmernom priestore? (Ukážte, že táto operácia spĺňa podmienky skalárneho súčinu).
2. Body $\small A[-3,2],B[2,4]$ sú susedné vrcholy štvorca. Pomocou skalárneho súčinu určte súradnice jeho zvyšných vrcholov.

Riešenie.

1. Pomocou bilineárnych foriem ukážte, že operácia spĺňa podmienky skalárneho súčinu (použitie bilineárnych foriem na zdôvodnenie tvrdenia nájdete Tu). Ak vektory $\small \pmb x = [a-1, 3, a+1], \pmb y = [-4, -a, 3a]$ majú byť na seba kolmé, tak ich skalárny súčin sa musí rovnať nule. Po dosadení dostaneme
   $\small (x.y)=3x_1y_1+2x_2y_2+x_3y_3=3(a-1)(-4)+2⋅3(-a)+(a+1)3a=3a^2-15a+12.$
   Riešením kvadratickej rovnice sú čísla $\small a \in \left\{ 1,4 \right\}$. Pozrite si grafické riešenie Tu.
2. Pre skalárny súčin platí $\small \left(\vec{u}=B-A=(5,2),\vec{v} \right) =0⇒\vec{v}=(2,-5),||\vec{v}||-1$.
   
   Otvorte si dynamický applet Tu.

Definícia - ortogonálne vektory
Nech $\small V(\mathbb R)$ je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom. Vektory $\small \pmb u _1,\pmb u_2,...,\pmb u_k \in V(\mathbb R)$ nazývame navzájom ortogonálne resp. ortonormálne, ak $\small (\pmb u_i . \pmb u_j)=0$ pre $\small \forall i,j \in {1,2,...,k}, i \neq j$ resp. ak naviac platí $\small ∥\pmb u_i∥ =1$.