Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

Definícia, vlastnosti (zopakovanie z Lineárnej algebry).

Definícia.
Nech $\small V(\mathbb R)$ je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel. Zobrazenie (operáciu)
$\cdot$: $\rightarrow V_n \times V_n \rightarrow \mathbb R$
nazveme skalárny súčin na $\small V_n(\mathbb R)$, ak pre každé $\pmb a, \pmb b, \pmb c \in \small  {V ,r \in \mathbb R }$ sú splnené tieto podmienky:

1. $\pmb a \cdot \pmb b = \pmb b \cdot \pmb a$
2. $(\pmb a+\pmb b) \cdot \pmb c=\pmb a \cdot \pmb c + \pmb b \cdot \pmb c$
3. $(r.\pmb a) \cdot \pmb b = r (\pmb a \cdot \pmb b)$
4. pre každý vektor $\pmb a \neq \vec 0$ je $\pmb a \cdot \pmb a > 0$.

Poznámky.

1. Vlastnosti (ii) a (iii) nastavujú požiadavku na linearitu v prvej zložke. Vlastnosť (i) žiada symetriu, tj linearita prvej zložky sa prenáša do zložky druhej. Tieto vlastnosti má symetrická bilineárna forma. Viac o bilineárnych formách nájdete Tu.
2. Vlastnosť (iv) hovorí, že forma musí byť pozitívne definitívna.
3. Skalárny súčin na reálnom priestore je teda symetrická pozitívne definitná bilineárna forma na danom priestore.
4. Takto definovaný skalárny súčin sa často v literatúre označuje ako vážený skalárny súčin.
5. Pre skalárny súčin na reálnom priestore budeme namiesto označenia $\small \pmb a \cdot \pmb b$ používať len symbol pre násobenie $\small \pmb a . \pmb b$ alebo symbol usporiadanej dvojice $\small (\pmb a , \pmb b)$.

Vážený skalárny súčin je oproti „stredoškolskému skalárnemu súčinu“ oveľa všeobecnejší. Stredoškolsky definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj ako euklidovský skalárny súčin) na priestore $\small V_3(\mathbb R)$ je zavedený nasledovne. Ak $\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3]$, tak
$\small \pmb a . \pmb b = a_1 . b_1 + a_2 .b_2 + a_3 . b_3$
Presvedčte sa, že stredoškolsky definovaný skalárny súčin spĺňa podmienky uvedené v definícii, že je to symetrická pozitívne definitná bilineárna forma.
Definícia skalárneho súčinu môže mať rôzne podoby. Napríklad na množine spojitých funkcií intervalu ⟨a,b⟩ možno uvažovať skalárny súčin vo forme
$(f|g)= \int_{a}^{b}{f(x)g(x)} dx.$

Cvičenie.
Ukážte, že operácia $\small \bullet$ definovaná na $\small \mathbb R^3$ takto:
$\small \pmb x \bullet \pmb y = x_1 y_1+x_2 y_2+x_2 y_3+x_3 y_2+2x_3 y_3$.
pre $\small \pmb x = [x_1, x_2, x_3], \pmb y = [y_1, y_2, y_3] \in \mathbb R^3$ spĺňa podmienky skalárneho súčinu.

Riešenie.
Dosadením súradníc vektorov $\small \pmb a = [a_1, a_2, a_3], \pmb b = [b_1, b_2, b_3], \pmb c = [c_1, c_2, c_3] \in \mathbb R^3$ do definície skalárneho súčinu, ľahko overíme, že jednotlivé podmienky v definícii sú splnené.
Riešenie pomocou bilineárnych foriem nájdete Tu.

Veta - ďalšie vlastnosti skalárneho súcinu.

Nech $\small V(\mathbb R)$ je vektorový priestor so skalárnym súčinom, nechaj $\small \pmb u, \pmb v, \pmb w \in V ,c \in \mathbb R$. Potom

1. $\small \pmb w . (\pmb u+\pmb v) = \pmb w . \pmb u+ \pmb w . \pmb v$. Dokážte toto tvrdenie.
   Dôsledok: Pre skalárny súčin platí aj zovšeobecnený distributívny zákon.
2. $\small \pmb u.(r.\pmb v) = r.(\pmb u.\pmb v)$
3. $\small 0.\pmb u = 0$. Dokážte tieto tvrdenia.
   Dôsledok: Pre skalárny súčin platí $\small \pmb u.\pmb u = 0 \Leftrightarrow \pmb u = \pmb 0$.

Veta - určenie euklidovského skalárneho súčinu.
Nech $\small B = \left\langle \pmb u_1, \pmb u_2, . . . , \pmb u_n \right\rangle$ je ortonormálna báza vektorového priestoru $\small V_n(\mathbb R)$ a nech $\small \pmb a = (a_1, a_2, . . . ,a_n), \pmb b = (b_1, b_2, . . . ,b_n)$ sú súradnice vektorov $\small \pmb a,\pmb b$ v báze $\small B$. Potom
$\small (\pmb a,\pmb b) = (a_1.b_1+ a_2.b_2+ . . . +a_n.b_n)$.

Dôkaz.
Nech  $\small \pmb a = (a_1\pmb u_1+ a_2.\pmb u_2+ . . . +a_n\pmb u_n), \pmb b = (b_1\pmb u_1+ b_2.\pmb u_2+ . . . +b_n\pmb u_n)$ sú súradnice vektorov v báze $\small B$. Definujme euklidovský skalárny súčin ako súčin mnohočlenov
$\small {(\pmb a,\pmb b) =\\=a_1.b_1\pmb u_1\pmb u_1+ a_1.b_2\pmb u_1\pmb u_2+ . . . +a_1.b_n\pmb u_1\pmb u_n+\\ +\;a_2.b_1\pmb u_2\pmb u_1+ a_2.b_2\pmb u_2\pmb u_2+ . . . +a_2.b_n\pmb u_2\pmb u_n+\\ +\;... \\ +\;a_n.b_1\pmb u_n\pmb u_1+ a_n.b_2\pmb u_n\pmb u_2+ . . . +a_n.b_n\pmb u_n\pmb u_n}$.

Využitím symetrie, distributívnosti a linearity skalárneho súčinu, vzťahov  $\small \pmb u_i.\pmb u_j = 0 ,i \neq j$;$\small \;\;\pmb u_i.\pmb u_i = 1$ a využitím komutatívnosti, distributívnosti násobenia a sčítania reálnych čísel dostaneme požadovaný výsledok.

Vektorový priestor $\small V_n(\mathbb R)$ s vyššie definovaným skalárnym súčinom nazývame Euklidovský (vektorový) priestor