Vektorový a afinný priestor
Vektorový priestor
Dimenzia a báza
Nech je vektorový priestor nad telesom . Po zavedení pojmov lineárna závislosť a lineárna nezávislosť sme zadefinovali lineárny obal ako
množinu všetkých lineárnych kombinácií
kde sú vopred dané vektory priestoru .
Teraz môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme a pridať niektoré vektorové axiómy.
Teraz môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme a pridať niektoré vektorové axiómy.
Axiómy dimenzie - rozmeru
- Nech vo vektorovom priestore existuje maximálne lineárne nezávislých vektorov, kde je prirodzené číslo. Číslo nazývame dimenzia vektorového priestoru.
- Každá - tica vektorov je už lineárne závislá.
- Podmnožina vektorového priestoru je jeho báza práve vtedy, keď každý vektor možno práve jediným spôsobom vyjadriť ako lineárnu kombináciu navzájom rôznych vektorov množiny .
- Koeficienty nazývame súradnice vektora v vzhľadom na bázu . Označujeme a čítame „súradnice vektora vzhľadom na bázu .
Definícia.
Vektorový priestor nad telesom je konečno-rozmerný, ak existuje taká konečná množina vektorov , že platí
.
Báza je množina lineárne nezávislých vektorov, ktorá generuje celý priestor .
Vektorový priestor nad telesom je konečno-rozmerný, ak existuje taká konečná množina vektorov , že platí
.
Báza je množina lineárne nezávislých vektorov, ktorá generuje celý priestor .
Príklad.
Majme množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel a operácie:
- sčítanie po zložkách.
- násobenie skalárom ,
kde sú ľubovoľné usporiadané dvojice reálnych čísel. Ukážte, že množina spolu s operáciami je 2-rozmerný vektorový priestor. Nájdite aspoň jednu jeho bázu.
Majme množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel a operácie:
- sčítanie po zložkách.
- násobenie skalárom ,
kde sú ľubovoľné usporiadané dvojice reálnych čísel. Ukážte, že množina spolu s operáciami je 2-rozmerný vektorový priestor. Nájdite aspoň jednu jeho bázu.
Poznámky.
- Vektorový priestor je reprezentovaný množinou všetkých orientovaných úsečiek, ktoré sú určené ľubovoľnou usporiadanou dvojicou bodov v klasickej euklidovskej rovine.
- Ak využijeme pravouhlý súradnicový systém s osami a počiatkom , tak jedno z umiestnení vektora môžeme znázorniť ako orientovanú úsečku , kde bod má súradnice . Všimnite si, že budeme rozlišovať zápis usporiadanej dvojice (okrúhle zátvorky) a súradnice bodu v rovine (hranaté zátvorky).
- V stredoškolskej matematike sa vektor priamo definuje ako orientovaná úsečka so šípkou smerujúcou od počiatku súradnicového systému k bodu . Šípkou sa označuje “orientácia” vektora .
- V písomnom texte budeme vektor označovať symbolom .
V pravouhlom súradnicovom systéme usporiadané dvojice reprezentujú tiež dva
body v euklidovskej rovine. Označme . Potom vektor
je zrejme súčtom vektorov . Toto tvrdenie vyplýva zo zhodnosti trojuholníkov .
Otvorte si dynamický obrázok Tu.
Súradnice vektora určeného orientovanou úsečkou , kde určíme ako rozdiely súradníc bodov tj. . Vytvorili sme operáciu: odčítavanie bodov, pričom:
Rozdielom dvoch bodov je vektor.
Vektor určený orientovanou úsečkou môžeme zapísať aj ako .
Otvorte si dynamický obrázok Tu.
Rozdielom dvoch bodov je vektor.
Vektor určený orientovanou úsečkou môžeme zapísať aj ako .
Cvičenie.
Daný je vektorový priestor
.
Nájdite nejakú bázu priestoru a určite jeho dimenziu, ak
.
Priestor obsahuje štvorice prvkov telesa zvyškových tried modulo 7.
Daný je vektorový priestor
.
Nájdite nejakú bázu priestoru a určite jeho dimenziu, ak
.
Priestor obsahuje štvorice prvkov telesa zvyškových tried modulo 7.
Poznámka k cvičeniu.
Zápis hovorí, že súradnice vektora voči kanonickej báze sú . Súradnice vektora voči kanonickej báze sú koeficienty lineárnej kombinácie vektorov kanonickej bázy dávajúcej vektor , tj.
.
Súradnice vektora voči kanonickej báze predstavujú priamo zložky vektora .
Zápis hovorí, že súradnice vektora voči kanonickej báze sú . Súradnice vektora voči kanonickej báze sú koeficienty lineárnej kombinácie vektorov kanonickej bázy dávajúcej vektor , tj.
.
Súradnice vektora voči kanonickej báze predstavujú priamo zložky vektora .
Riešenie.
- Máme nájsť bázu vektorového priestoru , ktorý je daný ako lineárny obal množiny generátorov
.
Aby množina vektorov bola bázou, musí byť ešte lineárne nezávislá. - Ak teda nájdeme bázu musí pre súradnice vektora platiť
.
Z tejto vektorovej rovnice vypočítame súradnice . Najskôr treba upraviť maticu
na trojuholníkový tvar (Pozor, pracujeme nad telesom resp. poľom zvyškových tried modulo 7!) Po prvej iterácii dostanme
.
Urobte ešte dve iterácie tak, aby ste dostali maticu
. - Hodnosť matice je rovná 2, preto pre lineárny obal platí .
Dimenzia je rovná 2 a aspoň jedna báza je určená lineárne nezávislou množinou vektorov
- Určte súradnice vektora v tejto báze. Výpočet súradníc nájdete Tu.
Veta - existencia bázy.
Každý netriviálny konečno generovaný vektorový priestor má aspoň jednu konečnú bázu.
Každý netriviálny konečno generovaný vektorový priestor má aspoň jednu konečnú bázu.
Z vlastností hodnosti matíc ľahko odvodíme tvrdenie. Dôkaz nájdete napríklad v práci [Hasek:Linearni algebra a geometrie, str. 45-46].