Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

V predchádzajúcej kapitole sme pri definícii vektorového priestoru uviedli, že dvojica $\small (V,+)$ je Abelova komutatívna grupa. To znamená, že binárna operácia "+" je komutatívna a asociatívna. Zároveň sme definovali násobenie skalárom. Pomocou týchto dvoch operácií pripomenieme pojmy: lineárna kombinácia, závislosť a nezávislosť vektorov, ktoré sú dôležité a potrebné pri geometrickej manipulácii s vektormi.

Lineárna kombinácia.
Nech je daných $n$ vektorov $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n$. Každý vektor $\pmb v$ vyjadrený v tvare $\pmb v = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n$ , kde $c_1, c_2, …, c_n$ sú reálne čísla, sa nazýva lineárna kombinácia vektorov $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n$.

Príklady.

1. V rovine je daný pravidelný 6-uholník $\small ABCDEF$. Nech $\small \pmb u = D - A,\pmb v = B - D,\pmb w = F - B$. Určte lineárnu kombináciu (vektor) $\pmb u + \pmb v +\pmb w$ pomocou vrcholov 6-uholníka.

Riešenie Tu.
2. V rovine je daný šesťuholník, ktorého vrcholy sú určené vzťahmi:
   $\small A,\; A + \pmb u,\; A + 2 \pmb u + \pmb v, \; A + 2 \pmb u + 2 \pmb v, \; A + \pmb u + 2 \pmb v, \; A + \pmb v$.
   Dokážte, že tento šesťuholník je súmerný podľa stredu $\small S = A + u + v$. Zadanie Tu. Riešenie Tu.

Lineárna závislosť.
Vektory $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n; n \geq 1$ voláme lineárne závislé, ak rovnica
$\vec{0} = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n$
je splnená tak, že aspoň jedno z čísel $c_1, c_2, …, c_n$ je rôzne od nuly.

Veta.
Ak sú vektory $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n$ lineárne závislé, tak aspoň jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných.

Lineárna nezávislosť.
Vektory $\pmb v_1, \pmb v_2, ... , \pmb v_n; n \geq 1$ voláme lineárne nezávislé, ak rovnica
$\vec{0} = c_1 \pmb v_1 + c_2 \pmb v_2 + … + c_n \pmb v_n$
je splnená len pre $c_1= c_2= …= c_n=0$.

Príklady.

1. Nech vektory $\pmb v_1, \pmb v_2, , \pmb v_3$ sú lineárne nezávislé, potom aj vektory $\pmb v_1, \pmb v_1+\pmb v_2, \pmb v_2+ \pmb v_3$ sú nezávislé. Dokážte to. Riešenie Tu.
2. Je daný pravidelný 6-uholník. Určte vektor: $\pmb w= \small 3 \cdot \overrightarrow{AB}+2 \cdot \overrightarrow{CD} +\overrightarrow{EF}$. Riešenie Tu.
3. Zistite lineárnu (ne)závislosť vektorov, ak
   • $\pmb v_1=(1,1,1), \pmb v_2=(1,1,0) , \pmb v_3=(1,0,0)$,
   • $\pmb v_1=(-1,2,1), \pmb v_2=(1,0,-1) , \pmb v_3=(1,1,-1)$ . str178   r
   Využite Matrix calculator Tu.

Po zavedení pojmov lineárna závislosť a lineárna nezávislosť môžeme pristúpiť k pojmom dimenzia a báza vektorového priestoru. Predtým musíme zadefinovať lineárny obal $r$ vektorov a pridať niektoré vektorové axiómy. V ďalšom budeme uvažovať vektorový priestor $\small V$ nad telesom $\small T$ .

Definícia.
Nech $\small V$ je vektorový priestor nad telesom $\small T$ a nech sú dané vektory $\small \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r} ∈ V$. Potom množinu všetkých vektorov
$\small M = \lbrace a_1 \cdot \pmb {v_1} + a_2 \cdot \pmb {v_2}+ \cdot \cdot \cdot +a_r \cdot \pmb {v_r};\;a_i \in T,\; v_i \in V \rbrace$
nazývame lineárny obal vektorov $\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}$ alebo podpriestor generovaný vektormi $\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}$. Označujeme ho
$\small M =: \pmb[ \pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb]$.
Ak platí $\small \pmb[\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}\pmb ]= V$, hovoríme, že vektory $\pmb {v_1} , \cdot \pmb {v_2}, \cdot \cdot \cdot, \pmb {v_r}$ generujú vektorový priestor $\small V$.

Cvičenie.

1. Zistite, či vektor $\small \pmb {u}=(1,1,-1)$ patrí do lineárneho obalu množiny $\small M= \lbrace{(1;2;3),(1;0;2),(-2;1;0)}\rbrace$.
   Dokážte, že ľubovoľný vektor $\small \pmb {u}=(a, b, c) ∈ \mathbb R^3$ leží v lineárnom obale množiny $\small M$ pre ľubovoľnú trojicu $\small (a, b, c)$ reálnych čísel.
2. Je daná množina $\small M= \lbrace{(2,0,3),(4,1,4),(3,2,2)}⊂\mathbb{\pmb Z^3_5}\rbrace$. Rozhodnite, či je vektor $\small \pmb {u}=(1,2,3)$ prvkom lineárneho obalu množiny $\small M$.
   Množina obsahuje trojice prvkov telesa $\small \mathbb{\pmb Z_5}$ zvyškových tried modulo 5.
3. Zistite, či vektor $\small \pmb {u}=(7,2,-2)$ patrí do lineárneho obalu množiny $\small M= \lbrace{(1;0;-1),(2;1;0),(0;1;2),(5;2;-1)}\rbrace$. Ďalšie úlohy na Tu.

Riešenie
Cvičenie 1
Hľadajme koeficienty $\small α, β, γ$, pre ktoré platí rovnosť
$\small (a, b, c) = α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0)$.
Po úprave a porovnaní jednotlivých zložiek dostávame sústavu
$\small \; α + β − 2γ = a\\ \small 2α+\;\; \;\;\; \;γ = b\\ \small 3α + 2β \;\; \;\;= c.$
Napríklad Gaussovou eliminačnou metódou zistíme, že sústava má riešenie pre všetky $\small a, b, c ∈ R$. Nájdite toto riešenie. Pozrite si prácu [Olšák, str. 24].
Cvičenie 2

• Lineárny obal množiny $\small M$ priestoru $\small V$ je množina všetkých lineárnych kombinácií vektorov množiny $\small M$ s koeficientmi z poľa. Teda stačí zistiť, či je možné vektor $\small \pmb {u}=(1,2,3)$ zapísať ako lineárnu kombináciu vektorov množiny $\small M$.
• Vektor $\small \pmb {u}=(1,2,3)$ patrí do lineárneho obalu množiny $\small M$ ak existujú prvky $\small a,b,c \in \mathbb{\pmb Z_5}$ tak, aby
  $\small a⋅(2,0,3)+b⋅(4,1,4)+c⋅(3,2,2)=(1,2,3)$.
  Pre každú vektorovú zložku získame rovnicu. Trojica nasledujúcich rovníc tvorí sústavu, ktorú vyriešime. Pozor – sústavu riešime nad $\small \mathbb{\pmb Z_5}$!
  $\small 2a+4b+3c=1\\ \small \;\;\;\;\;\;\;\;b+2c=2\\\small 3a+4b+2c=1.$ Sčítaním prvej a druhej rovnice dostaneme
  $\small 2a=3,$
  lebo $\small 4b+1b=0 (mod \;5),3c+2c=0 (mod \; 5)$ a sčítaním 3.r.+2.r. dostanme
  $\small 3a+4c=0$
  odkiaľ $\small a=4, c=3a=2,b=2+3c=3$. Sústava má v poli $\small \mathbb{\pmb Z_5}$ riešenie. Vektor $\small \pmb {u}=(1,3,2)$ je lineárnou kombináciou vektorov množiny $\small M$. Preto $\small \pmb {u} \in [M]$.