Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

V ďalších kapitolách sa budeme zaoberať len euklidovským priestorom $\small \mathbb E_n$ so zameraním $\small V_n(\mathbb R)$. Zameriame sa prevažne len na dvojrozmerný a trojrozmerný euklidovský priestor - rovinu $\small \mathbb E_2$ a priestor $\small \mathbb E_3$. Pripomíname, že v euklidovskom priestore je definovaný skalárny súčin.

Definícia.
Nech $\small \mathbb E_n, \mathbb E_m$ sú euklidovské priestory. Zobrazenie $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ sa nazýva afinné zobrazenie (AZ), ak obrazom ľubovoľných troch kolineárnych bodov sú totožné body, alebo kolineárne body, pričom ich deliaci pomer sa zachováva.

Z definície vyplýva, že afinné zobrazenie má vlastnosť lineárneho zobrazenia.

Veta.
Nech $\small \mathbb E_n, \mathbb E_m$ sú euklidovské priestory a $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je afinné zobrazenie. Potom platí
$\small f( \alpha_0 (A_0) + \alpha_1 (A_1)+...+ \alpha_k (A_k))=\small \alpha_0 f((A_0)) + \alpha_1f( (A_1))+...+ \alpha_k f((A_k))$,
pričom $\small \alpha_0 + \alpha_1+...+ \alpha_k =1$.

Dôkaz (urobíme pre $\small n=2)$
Nech $\small f: \mathbb E_n \rightarrow \mathbb E_m$ je afinné zobrazenie a nech $\small f(X)= \alpha_1 (A_1)+ \alpha_k (A_2)$, kde $\small \alpha_1+\alpha_2 =1$. Pre ľubovoľný bod $\small X$ priamky $\small \overleftrightarrow{A_1A_2}$  platí
$\small X= A_1+ t (A_1-A_2)$
a pre jeho obraz $\small f(X)$ priamky $\small \overleftrightarrow{f(A_1)f(A_2)}$ bude
$\small f(X)= f(A_1)+ t (f(A_1)-f(A_2))$

Poznámky.

1. Ak $\small n=m$, tak afinnému zobrazeniu $\small f$ hovoríme transformácia euklidovského priestoru $\small \mathbb E_n$.
2. Afinné zobrazenie je zrejme lineárne zobrazenie.
3. Afinné zobrazenie zachováva lineárne kombinácie bodov.

♥ Príklad Tri body.
Afinné zobrazenie $\small f$ zobrazuje body $\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]$ do bodov $\small A'[1, 6], B'[1, 9], C'[3, 1]$ v tomto poradí. Kam sa zobrazí bod $\small P[5, 7]$ resp. bod $\small X[x, y]$? Prevzaté z práce (Chalmoviansky, Cvičenie 28).

Riešenie.
Prvý spôsob.
Bod $\small P[5, 7]$ vyjadrime ako lineárnu kombináciu bodov $\small A[2, 1], B[3, 0], C[1, 4]$. V takom prípade musia existovať reálne čísla $\small a,b,c$
(1) $\small P=a \cdot A+b \cdot B+c \cdot C$
$\small a+b+c=1$.
Zobrazenie $\small f$ je lineárne, preto pre obraz $\small P'[x',y']$ bodu $\small P$ bude platiť
(2) $\small P'=f(P)=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'$, pričom tiež musí platiť $\small a+b+c=1$
Sústavu rovníc (1) a (2) vyjadríme v maticovom tvare a vyriešime.

Pri násobení matíc typu $\small r \times s ;s \times t$ výsledná matica je typu $\small r \times t$, preto matica $\small P$ rep. matica $\small P'$ bude typu 3 x 1, pričom prvok $\small a_{31}=a+b+c$ bude zrejme rovný 1. (Pri riešení sme použili kalkulátor "Matrix calculator", ktorý je dostupný Tu.

$\small P=\mathrm M \times \mathrm A:\;\;\left(\begin{array}{ccc}5 \\ 7\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&1 \\ 1&0&4\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)$

$\small P'=\mathrm M' \times \mathrm A:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&3 \\ 6&9&1\\ 1&1&1 \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}a \\ b\\ c \end{array}\right)$
Po vyjadrení
$\small \mathrm A=\mathrm M^{-1} \times P: \left(\begin{matrix} -2 & -1 & 6 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} \end{matrix}\right)  \times \left(\begin{matrix}5 \\7 \\1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11 \\\frac{15}{2} \\\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$
a po dosadení do (2) dostaneme riešenie
$\small P'=\mathrm M' \times M^{-1} \times \mathrm P:\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 6 & 9 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} -2 & -1 & 6 \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-7}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{-3}{2} \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\right)$.
Po roznásobení
$\small P':\left(\begin{array}{ccc}x' \\ y'\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}10 \\6 \\1\end{matrix}\right)$.
Porovnaním ľavej a pravej strany dostaneme riešenie $\small P'=[10,6]$.

Dôsledok.
V našom príklade ak pre bod $\small P$ zvolíme všeobecné súradnice $\small P=[x,y]$, tak riešenie môžeme zapísať v tvare
$\small P': \left(\begin{matrix}x' \\y' \\1\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} x+y-2 \\ 2x-y+3 \\ 1 \end{matrix}\right).$

Transfomačné rovnice afinného zobrazenia.
Porovnaním riadkov matíc dostaneme sústavu - transformačné rovnice zobrazenia z príkladu "Tri body"
$x'=\;x+y-2\\y'=2x-y+3$
Dosaďte súradnice $\small P[5, 7]$ do tejto sústavy a zistíte súradnice hľadaného bodu $\small P'[10, 6]$.

Pozrite si riešenie v GeoGebre Tu. Kompletné grafické riešenie pre afinné zobrazenie určené obrazmi troch bodov si stiahnete Tu.

Druhý spôsob riešenia príkladu "Tri body".
Sústavu môžeme riešiť aj dosadením súradníc dostávame $\small [5, 7]=a \cdot [2, 1]+b \cdot [3, 0]+c \cdot [1, 4]$ a po roznásobení dostaneme sústavu troch rovníc o troch nezámych
$\small 2a+3b+c=5 \\ \small a+0b+4c=7 \\ \small a+b+c=1.$
Dostaneme riešenie $\small \left\{ a = -11, b = \frac{15}{2}, c = \frac{9}{2} \right\}$.
V afinnom zobrazení sa kolineárnosť zachováva, preto platí $\small P'=a \cdot A'+b \cdot B'+c \cdot C'$. Po dosadení riešenia a súradníc bodov $\small A'[1, 6], 'B[1, 9], C'[3, 1]$ dostaneme
$\small {x(P')}=1 \cdot (-11) + 1 \cdot \frac{15}{2}+3 \cdot \frac{9}{2}=-11+21=10\\ \small {y(P')}=6 \cdot (-11) + 9 \cdot \frac{15}{2}+1 \cdot \frac{9}{2}=6.$

Príklad.
Zobrazenie $f$ roviny $\small \mathbb E_2$ do tej istej roviny, ktoré bodu $\small X \in \overleftrightarrow {PQ}$ priradí bod $\small f(X)=\frac{1}{3}A+ \frac{1}{3}B +\frac{1}{3}X$ je afinné zobrazenie. Zobrazenie, ktoré trojuholníku s jedným premenným vrcholom priradí jeho ťažisko je afinné zobrazenie. Pozrite si dôkaz, že takéto zobrazenie je afinné Tu.