Vektorový a afinný priestor: Euklidovský priestor

Euklidovský priestor

Vektorový priestor, na ktorom je definovaný skalárny súčin (tiež nazývaný aj vnútorný súčin) umožňuje rozumne definovať geometrické pojmy uhol a vzdialenosť, čím na tomto vektorovom priestore vzniká dodatočná geometrická štruktúra.

Euklidovský priestor je

$\small n$ -rozmerný afinný priestor so zameraním

$\small V_n(\mathbb R)$ a s vyššie definovaným skalárnym súčinom; označovať’ ho budeme symbolom

$\small \mathbb E_n$ .

Vo vektorovom priestore okrem skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je skalár (reálne číslo), môžeme definovať operáciu, ktorej výsledkom bude vektor kolmý na obidva pôvodné vektory. Pre vektorový súčin uvedieme definíciu pomocou zobrazenie, ktoré dvojici vektorov v trojrozmernom Euklidovskom priestore priraďuje vektor kolmý na obidva pôvodné vektory.

Definícia - vektorový súčin.
Vektorový súčin dvoch vektorov

$\small \mathbf {a},\mathbf {b} \in V_3(\mathbb R)$ je definovaný ako vektor kolmý k vektorom

$\small \mathbf {a},\mathbf {b}$ , ktorého veľkosť je rovná ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory vytvárajú. Zapisujeme

$\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n}. ||\mathbf {a} || . ||\mathbf {b} ||.\sin \theta }$ ,
kde

$\small θ$ je uhol zvieraný vektormi

$\small \mathbf {a},\mathbf {b}$ s vlastnosťou

$\small 0° ≤ θ ≤ 180°$ a

$\small \mathbf {n}$ je jednotkový vektor kolmý k nim.

Vektorový súčin vektorov budeme označovať symbolom $\small {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ .
Vektorový súčin vektorov je definovaný pre 3-rozmerný Euklidovský priestor!

Veta.
Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Nech sú dané vektory

$\small \pmb {a}= ( a_1,a_2,a_3); \pmb {b}= ( b_1,b_2,b_3)$ . Potom zložky vektora

$\small \mathbf {c}$ vektorového súčinu

$\small{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ možno určiť ako

$\small {\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}} \\ \small {\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}\\ \small {\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$ .

Pomôcka na výpočet súradníc vektora

$\small \mathbf {c}$ .
Zapíšeme si súradnice vektorov do zákrytov pod seba, prvý riadok budú súradnice vektora

$\small \mathbf {a}$ a pridáme ešte raz jeho prvú a druhú súradnicu. V druhom riadku urobím to isté s vektorom

$\small \mathbf {b}$ . Dostaneme schému

$\small {\begin{array}{} a_1 & a_2& a_3& a_1& a_2 \\ b_1 & b_2& b_3& b_1& b_2 \\ \end{array}}$ .
Teraz určíme súradnice vektora

$\small \mathbf {c}$ - krížové násobenie:

$\small ( {\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}; {\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}; {\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})$ .

Poznámky.

Pre obsah trojuholníka $\small ABC$ je známy vzorec $\small S =\frac {1}{2}a · b · \sin γ$ , kde $\small a=|BC|,b=|AC|,γ=\angle ACB$ . Porovnaním s definíciou vektorového súčinu, môžeme písať $\small S =\frac {1}{2}\left| {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }\right|$ .
Pomocou zmiešaného súčinu troch vektorov môžeme vypočítať objem rovnobežnostena. Pozrite si prácu Vodičková, V.: Aplikácie vektorového súčinu. Dostupné Tu.