Predchádzajúci
Nasledujúci
Beltramiho-Kleinov model
Model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu do roviny kolmej na os hyperboloidu, pričom
    • stred premietanie je stred hyperboloidu - bod \small O=(0,0,0)
    • rovina, do ktorej premietame je dotyková rovina hyperboloidu v jeho vrchole \small V=(0,0,1)
    • priemetom hyperboloidu \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 je otvorený kruh \small k=(V,r=1) , ak a=b=c=1
    • zdôvodnite prečo priemetom hyperboloidu je práve otvorený kruh
    • kruh s vrcholom \small V a polomerom r=1 sa nazýva Klein Disc
    • priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu
    • priemetom nevlastného h-bodu 1. druhu je hraničný bod tohto kruhu
    • priemetom nevlastného h-bodu 2. druhu je vonkajší bod tohto kruhu
Zhrnutie
  1. Bodmi Beltrami Kleinovho modelu sú body Klein Disku.
  2. Priamkami sú tetivy tohto disku. Applet si aktivujete Tu.
V obidvoch hyperbolických modeloch (Beltrami a Poincare) neplatí axióma rovnobežnosti.
  1. V obidvoch prípadoch existuje viac ako jedna rovnobežka.
  2. Existencia rovnobežky vyplýva z prvých skupín axióm, ale jednoznačnosť nie.
  3. V modeli "Sféra" nemáme zaručenú ani existenciu rovnobežky.
  4. Kleinov disk a Poincaré disk sú modely, ktoré vzniknú aj premietaním pologule do vhodnej roviny/disku.
  5. Beltrami-Kleinov diskový model je ortografická projekcia (kolmé premietanie), zatiaľ čo Poincaré diskový model je stereografická projekcia (stredové premietanie). Pozri Wiki. alebo Disk a hyperboloid.
  6. Výhodou modelu Klein je, že priamky v tomto modeli sú euklidovské (rovné) tetivy. Nevýhodou je, že model nie je konformný (kruhy a uhly sú skreslené).
  7. Neeuklidovská hyperbolická geometria reprezentovaná Poincare diskom je konformná.
\( .\)
Predchádzajúci
Nasledujúci