Vytlačiť celú knihuVytlačiť celú knihu

Neeuklidovská geometria euklidovsky

Portál: Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz: Didaktika matematiky
Kniha: Neeuklidovská geometria euklidovsky
Vytlačil(a): Hosťovský používateľ
Dátum: štvrtok, 9 mája 2024, 16:31

Obsah

Abstrakt
V príspevku sa zaoberáme axiomatickým systémom rovinnej geometrie, ktorý bol navrhnutý Euklidom a neskôr upravený Hilbertom. Ťažiskom práce je model Poincaré Disc neeuklidovskej roviny. Navrhnuté sú nástroje v programe GeoGebra pre Poincaré Disc - hPriamka a hKružnica a z nich ďalšie špecificky odvodené nástroje. Riešené sú základné euklidovské konštrukcie v modeli Poincaré Disc.
Kľúčové slová: Euklidove Základy, hyperbolická geometria, Poincaré Disc, GeoGebra nástroje

Abstract
In the work, we develop the axiomatic system of plane geometry, which was proposed by Euclid and later modified by Hilbert. The focus of the work is the Poincaré Disc model of the non-Euclidean plane. The tools in the GeoGebra program are designed for the Poincaré Disc - hLine and hCircle and other specific tools. Solved basic Euclidean constructions in the Poincaré Disc model.
Keywords: Euclidean Elements, hyperbolic geometry, Poincaré Disc, GeoGebra tools
V historickom vývoji geometrie nájdeme dva východiskové míľniky, ktoré by sme mohli charakterizovať tromi otázkami:
„Ako to vytvoriť? “
„Prečo to platí?“
„Platí piaty Euklidov postulát?“
Pozrite si práce [GRE], [VAL].
  1. Začiatok tejto cesty „Ako “ patrí približne do obdobia dvoch tisícročí pred naším letopočtom, do obdobia mezopotámskeho a egyptského staroveku.
  2. Obdobie „Prečo“ zahŕňa obdobie od antického Grécka (Tháles, Pytagoras, Euklides) až po objavy neeuklidovských geometrií. S úctou k velikánom gréckej matematiky a filozofie treba zdôrazniť, že mnohé grécke myšlienky predbehli svoju dobu o dve nasledujúce tisícročia.
Objav neeuklidovských geometrií1) v 19. storočí patrí k najvýznamnejším historickým etapám vo vývoji matematiky a mal hlboký vplyv na vedu a filozofiu. Slovami M. Greenberga (pozrite si prácu [GRE]):
„Väčšina ľudí nevie, že v 19. storočí došlo k revolúcii v oblasti geometrie, ktorá bola vedecky tak hlboká a vo svojom vplyve rovnako filozoficky dôležitá ako Darwinova evolučná teória.“
Prenikaním informačno-komunikačných technológií (IKT) do života spoločnosti koncom 20. storočia nášho letopočtu sa začala revolúcia nielen v myslení ľudí ale aj v organizácii a riadení ich práce. Používanie IKT vo vzdelávacom procese sa stalo neodmysliteľnou súčasťou moderného vyučovania.




___________________________________________________________________________
1) Vynechanie piateho Euklidovho postulátu z axiomatického systému výstavby geometrie.
Slovo geometria pochádza z gréckeho výrazu hé gé meteón, čo znamená vymeriavanie pozemkov pomocou lán. Pozri prácu [SED]. Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l.
Základy geometrie nachádzame už v Babylone, Egypte, Indii a Číne. Veľký rozmach zaznamenala grécka matematika, ktorá nám zanechala dielo nesmiernej hodnoty - Euklidove Základy. 
Gréci boli prví, ktorí začali matematické tvrdenia dokazovať, pričom používali deduktívnu metódu.
Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj odpovede na otázku prečo.
Významní predstavitelia gréckej matematiky: Tháles, Pytagoras, Euklides, Archimedes.
V starom Grécku bol popísaný systém základných geometrických pojmov a vzťahov medzi nimi - postulátov.
Takýto kompletne spracovaný systém bol publikovaný v Euklidových Základoch. Pozrite si práce [EUC] a [SER]. Toto dielo sa považuje za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry.
Český preklad Euklidových Základov od Františka Servíta si môžete stiahnuť Tu. Existuje aj anglická elektronická verzia Tu.
V roku 1899 slávny matematik David Hilbert publikoval prácu Grundlagen der Geometrie, v ktorej navrhuje axiomatický systém, nahrádzajúci tradičné axiómy Euklida. V práci [HIL] sa uvádza šesť primitívnych pojmov. Tieto pojmy sú začlenené do dvoch skupín:
  1. Primitívne objekty
    • body - označujeme veľkými písmenami latinskej abecedy A , B , C , ... ;
    • priamky - na označenie používame malé písmená a , b , c , ... a
    • roviny - označujeme malými gréckymi písmenami \alpha, \beta, \gamma , ... .
  2. Primitívne vzťahy (binárne relácie)
    • incidencia - A ∈ a ["bod A leží na priamke a ", "priamka a prechádza bodom A ", "bod A a priamka a sú incidentné"].
    • vzťah "medzi" - \mu(ABC) [usporiadanie troch kolineárnych bodov A , B , C , kde bod B leží medzi bodmi A , C ]; používa sa aj označenie A \ast B \ast C . Pozri prácu [CHAL].
    • zhodnosť (kongruencia) - u \cong v ["úsečka u je zhodná s úsečkou v "], zhodnosť uhlov, zhodnosť trojuholníkov.
    Primitívne objekty nedefinujeme, vieme však jednoznačne rozhodnúť o vzťahoch medzi nimi. Interpretáciu primitívnych vzťahov reprezentuje nasledujúci applet, ktorý si aktivujete Tu.
Hilbertov axiomatický systém pozostáva z piatich skupín axióm.
  1. axiómy incidencie
  2. axiómy usporiadania
  3. axiómy zhodnosti (kongruencie)
  4. axióma o rovnobežnosti
  5. axiómy spojitosti
    6. Axiómy charakterizujú vzťahy medzi primitívnymi objektmi. Axiomatický systém obsahuje celkom 20 axióm.
Viac o Hilbertovom axiomatickom systéme nájde čitateľ v kurze Planimetria a stereometria Tu.
\( .\)
V Euklidových Základoch sú uvedené prvé dve tvrdenia (symbolicky T/I a T/II), ktoré sa týkajúce existencie rovnostranného trojuholníka a "prenášania" úsečky do polohy s daným počiatočným bodom. Euklides dokazuje tieto tvrdenia formou konštrukcie resp. návodov ako postupovať pri dokazovaní týchto tvrdení.
V dôkaze T/II sa používa niečo ako pohyb, ale v skutočnosti sa tam nič nepohybuje.
Tvrdenia
  1. T/I: Vytvoriť rovnostranný trojuholník na danej konečnej priamke. Celé tvrdenie resp. celú konštrukciu nájdete Tu.
  2. T/II: Z daného bodu \small A narysovať úsečku \small AF zhodnú s danou úsečkou \small BC .
Dôkaz tvrdenia T/II prezentujeme vo forme dynamickej konštrukcie - appletu v programe GeoGebra.


Applet si otvoríte programom GeoGebra Tu.
Poznámky
  1. Pri dokazovaní týchto prvých dvoch tvrdení Euklides využíva prvý postulát o existencii priamky určenej dvoma bodmi.
      • Z hľadiska konštruovateľnosti tento postulát predstavuje existenciu pravítka.
  2. Zároveň využíva tretí postulát o možnosti zostrojenia kruhu určeného stredom a polomerom.
      • Z hľadiska konštruovateľnosti to môžeme považovať za existenciu kružidla.
Definícia kruhu intuitívne používa pojmy "medzi" a "zhodnosť", ktoré nie sú v Základoch zavedené. Neskôr (takmer o dve tisíc rokov) tieto pojmy zavádza Hilbert vo svojom axiomatickom systéme, kde sa kružnica po uvedení axióm zhodnosti už môže zadefinovať.
Euklides v dôkazoch predpokladá, že pri prenášaní úsečky sa jej veľkosť nezmení. Toto v Hilbertovej sústave zabezpečujú axiómy zhodnosti.
Euklidovská konštrukcia sa nazýva grafická konštrukcia v euklidovskom priestore realizovaná
  1. ideálnym pravítkom a ideálnym kružidlom
  2. konečným počtom krokov
  3. každý krok je elementárna konštrukcia na zostrojenie
    1. priamky prechádzajúcej dvoma danými rôznymi bodmi
    2. kružnice so stredom v danom bode a s daným polomerom
    3. priesečníka dvoch rôznobežných priamok (resp. prieniku priamky a kružnice alebo prieniku dvoch kružníc).
Elementárne euklidovské konštrukcie
  1. Zostrojenie stredu danej úsečky.
  2. Zostrojenie osi úsečky, osi daného uhla.
  3. "Prenesenie" danej úsečky na danú polpriamku. Tvrdenie T/III.
  4. "Prenesenie" daného uhla na danú polpriamku v danej polrovine.
Poznámky
  1. V euklidovskej rovine prvé dve uvedené elementárne konštrukcie nie problém zrealizovať, ak máme k dispozícii pravítko a kružidlo. Pozrite si konštrukciu Tu.
  2. V geometrii, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát (neeuklidovské geometrie) to také jednoduché nebude. V prvom rade musíme nájsť odpoveď na otázku: "Čo budeme rozumieť pod pravítkom resp. kružidlom v takejto geometrii?"
  3. V ďalšej časti sa pokúsime zodpovedať na túto otázku a následne vytvoriť elementárne euklidovské konštrukcie v neeuklidovskej geometrii.
\( .\)
Definícia - rovnobežnosti
Euklides: Rovnoběžky jsou přímky, které jsou v téže rovině a prodlouženy na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají. (Servít)
Hilbert:   Dve priamky sú rovnobežné (rovnobežky), ak nemajú spoločný bod.
Tvrdenie (Euklides, Základy, T/XXVII).
Keď priamka pretínajúca dve priamky vytvára striedavé uhly navzájom rovnaké, budú tie priamky navzájom rovnobežné.
Dôkaz
Cvičenie; dôsledok vety o vonkajšom uhle
Dôsledok - existencia rovnobežky.
Nech bod B neleží na priamke p . Potom existuje priamka q  taká, že B \in q \; \wedge \; p \parallel q .
Dôkaz.
Zvoľme si ľubovoľný bod A na priamke p . Zostrojme priamku t=AB (transverzála/priečka priamok p,q ).
Následne zostrojíme priamku q: B \in q tak, aby striedavé uhly pri priamkach p,q s transverzálou t boli rovnaké (axióm Z4).
Rovnobežnosť p, q vyplýva z vety o vonkajšom uhle trojuholníka.

Applet aktivujete Tu
Poznámka.
Dokázaním predchádzajúceho dôsledku sme ukázali existenciu rovnobežky, pričom sme použili predchádzajúce axiómy.
Teraz stačí formulovať axiómu, ktorá zaručí jednoznačnosť - existenciu jedinej rovnobežky.
Playfairova axióma.
Pre každú priamku p a pre každý bod B \notin p  existuje práve (najviac) jedna priamka q: B \in q rovnobežná s priamkou p (ozn. p \parallel q  ).
Piaty Euklidov postulát.
A keď priamka pretínajúca priamky dve priamky tvorí na tej istej strane vnútornej (priľahlej) uhly menšie dvoch pravých, tie dve priamky predĺžené do nekonečna sa zbiehajú na tej strane, kde sú uhly menšie dvoch pravých.
Tvrdenie(Základy, T/XXXII).
Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je rovný dvom pravým uhlom.
Dôkaz
Cvičenie; tvrdenie je ekvivalentné axióme rovnobežnosti. 
\( .\)
Neeuklidovská geometria je taká geometria, v ktorej neplatí piaty Euklidov postulát - axióma rovnobežnosti ale spĺňa axiómy incidencie, usporiadania a zhodnosti.
Neeuklidovské geometrie rozdeľujeme do dvoch kategórií:
  1. Hyperbolická geometria, v ktorej daným bodom neležiacim na danej priamke prechádzajú aspoň dve rovnobežky.
  2. Parabolická geometria, v ktorej neexistuje žiadna rovnobežka idúca daným bodom neležiacim na danej priamke.
    3. My sa budeme zaoberať len hyperbolickou geometriou. Popíšeme dva modely, ktoré reprezentujú hyperbolickú rovinu.
Za východisko pre hyperbolickú rovinu si vezmeme dvojdielny hyperboloid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1, na ktorom urobíme dve základné operácie.


Applet si otvoríte programom GeoGebra Tu
  1. Najprv vykonáme operáciu "stotožnenie" každých dvoch bodov hyperboloidu súmerných podľa jeho stredu. Takouto operáciou redukujeme daný hyperboloid len na jednu jeho časť. Takúto dvojicu bodov nazývame združené body. V ďalších úvahách budeme pracovať len s jeho jednou časťou hyperboloidu, napríklad s "hornou časťou", pozrite si pravý obrázok.
  2. Potom urobíme prienik (rez) hyperboloidu s ľubovoľnou stredovou rovinou. Takáto stredová rovina môže byť trojakého typu: reálne pretína hyperboloid v hyperbole, môže sa dotýkať hyperboloidu alebo ho nepretína v reálnom prieniku.
    3. Po uskutočnení týchto dvoch základných operácií môžeme definovať základné pojmy pre hyperbolickú rovinu.
  1. Bod hyperbolickej roviny: dvojicu \small A, A' združených bodov hyperboloidu nazveme vlastný h-bod hyperbolickej roviny alebo len h-bod.
  2. Priamka hyperbolickej roviny: ak prienikom stredovej roviny s hyperboloidom je hyperbola, tak túto krivku (hyperbolu) nazývame vlastná h-priamka alebo len krátko h-priamka.
  3. V nižšie uvedených poznámkach nájdete definície nevlastných bodov a priamok.

Applet aktivujete Tu
Poznámky.
  1. Stredová rovina (priamka) je rovina (priamka) prechádzajúca stredom O hyperboloidu.
  2. Asymptotická kužeľová plocha je rotačná plocha, ktorá sa dotýka rotačného hyperboloidu v nevlastnej kužeľosečke.
  3. Nevlastný (limitný) bod \small C_ \infty hyperboloidu (stotožnené body na nevlastnej kružnici) nazývame nevlastný h-bod 1. druhu.
  4. Nevlastné body priestoru Euklidovského priestoru, ktoré na ploche hyperboloidu neležia, nazývame nevlastný h-bod 2. druhu.
  5. Keďže rezy stredových rovín s hyperboloidom môžu byť trojakého typu, existujú tri typy hyperbolických h-priamok:
    • ak prienik obsahuje len povrchovú priamku asymptotickej kužeľovej plochy (rovina sa dotýka hyperboloidu v nekonečne), tak tento prienik budeme považovať za nevlastnú h-priamku 1. druhu (rovina hyperboloid reálne pretne v komplexne združených rovnobežkách)
    • ak stredová rovina nepretína hyperboloid, tak rezom je imaginárna kužeľosečka (elipsa), ktorú nazveme nevlastná h-priamka 2. druhu.
\( .\)
Poincaré model
      • model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
      • stred premietanie je vrchol \small V'=(0,0,-1) (spodná časť) hyperboloidu
      • premietame do roviny kolmej na os hyperboloidu, ktorá prechádza stredom hyperboloidu \small O=(0,0,0)

      • priemetom hyperboloidu \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 je zrejme otvorený kruh \omega=(O,\; r < 1)
      • tento otvorený kruh so stredom \small O sa nazýva Poincaré Disc
      • dvojdielny hyperboloid a rovina kolmá na os hyperboloidu prechádzajúca jeho stredom Tu.
Tvrdenie
  1. Priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu \small \omega (O,\; r=1) .
  2. Priemetom h-priamky (hyperboly) je otvorený kružnicový oblúk kruhu, ktorý je kolmý na jeho hranicu \omega .
Dôkaz
  1. Dôkaz prvej časti tohto tvrdenia vyplýva z vlastností stredového premietania, v ktorom sa kužeľová plocha obaľujúca hyperboloid zobrazí do kružnice \small (O,\; r=1) . To znamená, že ľubovoľný bod hyperboloidu sa zobrazí do vnútra kruhu \small \omega (O,\; r \leq 1) . Otvorte si obrázok Tu
  2. Dôkaz druhej časti o priemete h-priamky (reálne stredovej hyperboly) rozdelíme na dve etapy i. a ii.


    Pohybujte bodmi \small A,B , applet si stiahnete Tu.
    1. Nech \small A,A' je dvojica združených bodov hyperboloidu a nech \small A_1,A'_1 sú ich stredové priemety. Pre súčin vzdialeností a_1,a'_1 bodov \small A_1,A'_1 od stredu \small O hyperboloidu platí:
      a_1 \times a'_1=[ \frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}-1)] \times [\frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}+1)]=1 .
      Dôkaz toho, že súčin vzdialeností \small | OA_1| \times | OA'_1| je konštantný je prezentovaný v nižšie priloženom applete. Pozrite si obrázok a otvorte si applet.

      Obrázok, applet si otvoríte programom GeoGebra Tu.
    2. Musíme ešte dokázať, že ľubovoľná dvojica združených bodov \small A,A' leží na kružnici kolmej na kružnicu \small \omega (O,\; r=1) . V tejto etape dôkazu budeme potrebovať tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici. Viac o mocnosti bodu ku kružnice nájdete v kurze Planimetria a stereometria Tu.
Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica \small k (S_k, r_k) a bod \small O, ležiaci zvonka kružnice. Nech p je sečnica kružnice k vedená bodom \small O a nech \small A_1, A'_1 sú priesečníky sečnice p s kružnicou \small k (S_k, r_k). Pod mocnosťou bodu \small O ku kružnici \small k (S_k, r_k) rozumieme číslo m , pre ktoré platí: \small m = |OA_1| . |OA'_1|.
Vlastnosť mocnosť stačí vhodne aplikovať na náš prípad. Ilustráciu tvrdenia o priemete h-priamky prezentuje nasledujúci applete. Podrobný dôkaz (časti ii.) nájde čitateľ v ďalšej podkapitole s názvom "Hyperbolická priamka". Pozrite si tiež kapitolu "The Poincaré Disk Model" v práci [HIT].
\( .\)
Pokračovanie dôkazu tvrdenia o priemete h-priamky, v ktorom využijeme tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici.
Tvrdenie
Priemetom h-priamky (hyperboly) je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu \omega (O,\;r \leq 1) .
Pri dôkaze budeme potrebovať aj pojem dvojice inverzných bodov a pojem polárneho prvku v kruhovej inverzii. Viac o kruhovej inverzii najdete v kurze Planimetria a stereometria Tu. Najskôr dokážeme lemu:
Lema
Nech je daná kruhová inverzia určená kružnicou - hranicou kruhu \omega (O,\;r \leq 1) a nech bod \small A' je obrazom bodu \small A v tejto kruhovej inverzii. Zvoľme si kružnicu k obsahujúcu dvojicu inverzných bodov \small A,A'. Ak kružnica k pozostáva výlučne z dvojíc inverzných bodov vzhľadom na kružnicu - hranicu kruhu \omega (O,\;r \leq 1) , tak kružnica k pretína kružnicu  - hranicu kruhu \omega (O,\;r \leq 1)   kolmo.
Dôkaz
  1. Nech body \small A,B sú priemety bodov h-priamky \small AB . Pozrite si priložený obrázok.
  2. Podľa predchádzajúcej časti dôkazu (i.) platí
    | OA| \times | OA'|=| OB| \times | OB'|=1 .
  3. Odkiaľ: bod \small A' je obrazom bodu \small A aj v kruhovej inverzii   (O,\;r = 1) . Podobne to môžeme povedať aj o bodoch \small B,B' .
  4. Nech k je kružnica určená bodmi \small A,A',B , potom v dôsledku mocnosti bodu \small O ku kružnici k bude aj bod \small B' bodom kružnice k .
  5. Teraz uvažujme o dotykových bodoch \small P,Q na dotyčniciach z bodu \small O ku kružnici k .
  6. Mocnosť bodov \small A,B,P,Q ku kružnici k
    \small \left| OB \right| \times \left|OB' \right|=\left| OP \right|^2=\left| OQ \right|^2=1
  7. Z toho vyplýva, že body \small P,Q sú samodružné v kruhovej inverzii   (O,\;r = 1) .
  8. Priamky \small \overleftrightarrow{OP}, \overleftrightarrow{OQ} sú dotyčnice ku kružnici k . Odkiaľ \small \overleftrightarrow{SP} ⟂\; \overleftrightarrow{OP}, \; \overleftrightarrow{SP}⟂ \; \overleftrightarrow{OP} .
  9. Kružnica k je kolmá na kružnicu \omega .
    10. Tým je dôkaz lemy ukončený.
    Otvorte si applet v programe GeoGebra - dôkaz Tu. Pozrite si tiež prácu [HYP].
V dôsledku lemy a predchádzajúcich častí dôkazu môžeme vysloviť tvrdenie:
Priemetom h-priamky \small AB je oblúk \small \widehat{PAQ} na kružnici k .
Poincaré diskový model (tiež sa používa označenie Poincaré Disc) hyperbolickej roviny je prezentovaný v euklidovskej rovine ako otvorený kruh \omega = \lbrace{(x, y) : x^2 + y^2 < 1; x,y \in \mathcal{R} }\rbrace . Euklidovskú geometriu roviny môžeme považovať za „ontológiu pozadia“.
V predchádzajúcej časti sme uviedli, že tento otvorený kruh je stredovým priemetom dvojdielneho hyperboloidu. Uviedli sme tvrdenie, že v Poincaré diskovom modeli pre hyperbolické body a hyperbolické priamky platí:
    • vlastný bod je vnútorný bod kruhu, ktorý je priemetom vlastného h-bodu hyperboloidu;
    • koncový bod (resp. nevlastný bod) ležiaci na hranici kruhu, ktorý je priemetom nevlastného bodu 1. druhu;
    • priamka je otvorený kružnicový oblúk kruhu - je priemetom h-priamky (hyperboly), pričom tento oblúk leží na kružnici kolmej na hranicu kruhu
    Zostrojiť bod v Poincaré modeli znamená zostrojiť bod vo vnútri kruhu ω, čo nie je žiadny problém.
    Pri zostrojovaní hyperbolickej priamky určenej dvoma bodmi kruhu s výhodou využijeme vlastnosti kruhovej inverzie a konštrukcie popísané v predchádzajúcom dôkaze.
Poznámky
  1. V ďalšej podkapitole navrhneme v prostredí GeoGebra konštrukciu a zároveň aj nástroj na zostrojenie hyperbolickej priamky určenej dvoma rôznymi bodmi v Poincaré modeli disku. V konštrukcii využijeme inverzné body.
  2. Pri riešení konštrukčných úloh v Poincaré modeli potrebujeme okrem konštrukcie hyperbolickej priamky (nasledujúca kapitola) potrebovať aj konštrukciu kružnice a ďalších základných euklidovských konštrukcií (kolmica, os úsečky a pod).
\( .\)
Poznámky.
  1. Konštrukcie v Poincare Disc si uľahčíme, ak v GeoGebre vytvoríme vlastné nástroje, ktorými sa "vykreslí" resp. zostrojí požadovaný útvar.
  2. Vychádzame z tvrdenia, že h-priamka sa zobrazí do kružnicového oblúku, ktorý leží na kružnici kolmej k Poincare disku.
  3. Najskôr musíme popísať konštrukciu, ktorá vytvorí požadovaný kolmý oblúk (obraz h-priamky).
  4. Potom pomocou makier vytvoríme nástroj, pomocou ktorého sa zostrojí požadovaný kolmý oblúk.
Úloha.
Daný je kruh \small \omega (O, r=1) a body \small A, B ležiace vnútri kruhu. Zostrojte obraz hyperbolickej h- priamky určenej bodmi \small A, B v prostredí GeoGebry
Riešenie
Budeme predpokladať, že aspoň jeden z bodov \small A, B je vnútorný bod kruhu \small \omega a je rôzny od stredu \small O .


Postup konštrukcie
  1. V kruhovej inverzii \small \omega (O, r=1) zostrojíme obrazy \small A', B' bodov \small A, B .
  2. Zostrojíme kružnicu k určenú bodmi \small A, A', B' alebo bodmi \small A, B, B' . Nájdeme priesečníky \small K,L .
  3. Na kružnici \small k (S_k, r) vyznačíme menší z oblúkov, ktoré sú určené krajnými bodmi \small K,L .
  4. Menší oblúk je hľadaný obraz hyperbolickej priamky \small AB
Celú konštrukciu si otvoríte v programe GeoGebra Tu a potom si ju uložte do vášho PC pod názvom "h-Priamka". Táto konštrukcia bude východiskom pre vytvorenie Nástroja v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz h-priamky v Poincare modeli. Predtým ako uvedieme postup na vytvorenie nástroja hPriamka v GeoGebre, vyskúšajte si dva návrhy.
Nástroj na vytvorenie h-priamky v modeli Poincaré Disc. 
  1. Nástroj v GeoGebre na zostrojenie priamky v modeli Poincaré Disc \omega s polomerom r=1 , otvorte Tu. Postup je klasický ako v euklidovskej rovine. Najskôr si zvoľte dva rôzne body vo vnútri kruhu \omega - použite nástroja Bod.  Potom aktivujte nástroj hPriamka a program vykreslí kružnicový oblúk, ktorý je priemetom h-priamky (hyperboly).
    2. alebo
  2. Nástroj v GeoGebre na zostrojenie priamky v modeli Poincaré Disc s ľubovoľným polomerom, otvorte Tu. Pri tomto nástroji treba po zadaní dvoch bodov a aktivovaní nástroja hPriamka ešte kliknúť aj bod \small M . Pomocou tohto bodu môžeme meniť polomer kružnice \omega , čo predstavuje "sploštenie" hyperboloidu.
Postup na vytvorenie nástroja hPriamka v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz hyperbolickej priamky v Poincare modeli.
  1. Spustite program GeoGebra a otvorte si súbor uložený s názvom "h-Priamka".
  2. V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
  3. Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja:
    • ako výstupné objekty vyberte body: \small K,L a oblúk p (otvorte si aj algebraické okno)
    • ako vstupné objekty vyberte body: \small A,B a kružnicu k
    • vhodne pomenujte nástroj, napr. "hPriamka", vyberte predtým vytvorený obrázok pre ikonu
    • v nápovedi uveďte napr. "Ukáž dva body a potom klikni na kružnicu"
    • zaškrtnite políčko "Ukázať na palete nástrojov"
    • uložte ako napr. "hPriamka" s príponou ggt.
  4. Ak už vidíte novú ikonku nástroja hPriamka, tak v tejto konštrukcii kliknite v stĺpci Súbor na Nový.
  5. Nákresňa je "čistá" ale ikonka hPriamka je tam. Teraz si vytvorte kružnicu \small (O, r=1 a vhodne zväčšite plochu nárysne. Uložtesi tento súbor pod názvom Nástroj hPriamka.
Cvičenie.
Vytvorte Nástroj/Ikonu v GeoGebre, pomocou ktorej sa vytvorí hyperbolická úsečka v modeli Poincaré Disk. Riešenie Tu
\( .\)
Nech sú dané dva rôzne body \small S a \small A na hyperboloide. Pozrite si nižšie priložený applet.
  1. Uvažujme o kružnici \small k=(S; r= | SA| , ktorej všetky body sú bodmi hyperboloidu. Symbolicky: \small \forall X \in k \Rightarrow X \in HYP .
  2. Nech bod \small B je stredovo súmerný k bodu \small A podľa stredu \small S , potom bod \small B je tiež bodom kružnice k a zároveň bodom hyperboloidu.
  3. Nech \rho je určená bodmi \small A,S a bodom StredPremietania. Táto rovina pretína daný dvojdielny hyperboloid v hyperbole (v applete červená krivka).
  4. Zostrojme dotyčnice k tejto hyperbole v bodoch \small A,B a ich priesečník \small S_1 .
  5. Potom platí nasledujúce tvrdenie, ktoré uvádzame bez dôkazu. K dôkazu sú potrebné širšie znalosti stredového premietania kužeľosečiek.
Tvrdenie
Priemetom kružnice \small k=(S; r=|SA| do Poincaré disku \omega= \lbrace{x^2+y^2< 1; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace je kružnica  \small k'=(S'_1; r= | S'_1A'| ,



Otvorte si dynamický obrázok Tu.
Poznámka.
Na základe tohto tvrdenia môžeme uskutočniť konštrukciu, pomocou ktorej zostrojíme kružnicu v Poincaré disku určenú stredom \small S a bodom \small A a na základe tejto konštrukcie aj nástroj v GeoGebre pomocou, ktorého narysujeme kružnicu v modeli Poincaré Disc.

Otvorte si applet Tu
Poznámka.
Teraz už máme tri základné (euklidovské) nástroje: hPriamku hUsecku a hKružnicu v Geogebre. Otvorte si applet Tu.
\( .\)
Beltramiho-Kleinov model
Model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu do roviny kolmej na os hyperboloidu, pričom
    • stred premietanie je stred hyperboloidu - bod \small O=(0,0,0)
    • rovina, do ktorej premietame je dotyková rovina hyperboloidu v jeho vrchole \small V=(0,0,1)
    • priemetom hyperboloidu \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 je otvorený kruh \small k=(V,r=1) , ak a=b=c=1
    • zdôvodnite prečo priemetom hyperboloidu je práve otvorený kruh
    • kruh s vrcholom \small V a polomerom r=1 sa nazýva Klein Disc
    • priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu
    • priemetom nevlastného h-bodu 1. druhu je hraničný bod tohto kruhu
    • priemetom nevlastného h-bodu 2. druhu je vonkajší bod tohto kruhu
Zhrnutie
  1. Bodmi Beltrami Kleinovho modelu sú body Klein Disku.
  2. Priamkami sú tetivy tohto disku. Applet si aktivujete Tu.
V obidvoch hyperbolických modeloch (Beltrami a Poincare) neplatí axióma rovnobežnosti.
  1. V obidvoch prípadoch existuje viac ako jedna rovnobežka.
  2. Existencia rovnobežky vyplýva z prvých skupín axióm, ale jednoznačnosť nie.
  3. V modeli "Sféra" nemáme zaručenú ani existenciu rovnobežky.
  4. Kleinov disk a Poincaré disk sú modely, ktoré vzniknú aj premietaním pologule do vhodnej roviny/disku.
  5. Beltrami-Kleinov diskový model je ortografická projekcia (kolmé premietanie), zatiaľ čo Poincaré diskový model je stereografická projekcia (stredové premietanie). Pozri Wiki. alebo Disk a hyperboloid.
  6. Výhodou modelu Klein je, že priamky v tomto modeli sú euklidovské (rovné) tetivy. Nevýhodou je, že model nie je konformný (kruhy a uhly sú skreslené).
  7. Neeuklidovská hyperbolická geometria reprezentovaná Poincare diskom je konformná.
\( .\)
Základné hyperbolické konštrukcie v Poincare Disku \omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace
Cvičenia.
  1. Zostrojte rovnostranný trojuholník \small ABC pomocou hyperbolických kružníc \small k_1=(A,AB), k_2=(B,AB) (pozrite si Euklidovo tvrdenie T/I).
    Riešenie Tu.
  2. Zostrojte rovnoramenný trojuholník \small ABC so základňou \small AB pomocou dvoch zhodných hyperbolických kružníc (kružnice s rovnakým polomerom). Pomocou dotyčníc k hPriamkam \small AB, AC a k hPriamkam \small AB, BC určte veľkosti uhlov pri základni a presvedčte sa, že majú rovnakú veľkosť. Riešenie Tu.
  3. Zostrojte hyperbolickú priamku \mu \subset \omega , ktorá je osou úsečky \small \alpha =AB , kde \small A,B \in \omega .
    Návod:
    1. Využitím Euklidovho tvrdenia T/I zostrojte hyperbolické rovnostranné trojuholník \small ABC, ABC' , kde \small C' je súmerný bod podľa priamky \small AB .
    2. V trojuholníku \small ABC zostrojte os prechádzajúcu vrcholmi \small C,C' .
    3. Využite Euklidove tvrdenia T/IX a T/X.
    4. Riešenie Tu.
  4. Nájdite stred kružnice(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Riešenie Tu.
  5. Zostrojte hyperbolickú kolmicu \sigma \subset \omega na hyperbolickú priamku \small \alpha =AB , ktorá prechádza bodom \small P \in \omega . Pomocou dotyčníc k hPriamkam \small AP, PC ukážte, že uhly pri päte kolmice sú pravé.
  6. Zostrojte hyperbolickú kolmicu \sigma \subset \omega na hyperbolickú priamku \small \alpha =AB , ktorá prechádza bodom \small P \notin \omega .
    7. Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
  7. Zostrojte kružnicu vpísanú (resp. opísanú) do trojuholníka \small ABC (pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha IV, T/IV (resp. T/V)).
Využite Poincaré Disc vytvorený v prostredí GeoGebra, v ktorom vieme zostrojiť hyperbolickú úsečku a priamku; kružnicu určenú stredom a bodom resp. polomerom; určiť vzdialenosť dvoch bodov.

Poincaré Disk si môžete stiahnuť Tu
Poznámky
  1. Euklidove tvrdenia využívané v tejto časti platia aj hyperbolickej geometrii, keďže sú nezávislé na piatom Euklidovom postuláte.
  2. Euklidove Základy - česká verzia Tu; Elektronická - verzia (angl.) Tu
\( .\)
  1. [CAS] Castellanos,J., NonEuclid: Interactive Javascript Software for Creating Straightedge and Collapsible Compass Constructions in the Disk Model of Hyperbolic Geometry. Dostupné Tu.
  2. [EUC] Euklidove Základy. Elektronická - verzia (angl.). Dostupné Tu.
  3. [GRE] Greenberg, M. (1993). Euclidean and non-Euclidean geometries. Third. Development and history. W. H. Freeman and Company, New York, 1993.
  4. [HIL] Hilbert, D., Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie). 1899.
  5. [HIT] Hitchman, M. P., Geometry with an Introduction to Cosmic Topology. Oregon, USA 2018. Dostupné Tu.
  6. [HYP] Hyperbolic Geometry, Part III. Dostupné Tu.
  7. [CHAL] Chalmovianská, J., Axiomatika euklidovskej roviny. Dostupné Tu.
  8. [CHRI] M. Christersson, M., GeoGebra Constructions in the Disc. Dostupné Tu.
  9. [JOY] Joyce, D.E. Euclid's Elements, 1994. Dostupné Tu.
  10. [MAN] Manthey, J., GeoGebra Tools for Poincare Disk. Dostupné Tu.
  11. [SED] Šedivý, O., Vallo, D.: Základy elementárnej geometrie. FPV UKF v Nitre, 2009. ISBN : 978-80-8094-623-4.
  12. [SER] Servít, F., Eukleidovy Základy (Elementa). JČM, Praha, 1907. Dostupné Tu.
  13. Ukážka funkčného modelu "The hyperbolic plane" Tu, ktorý sme prevzali z https://www.geogebra.org/m/tHvDKWdC.
  14. [VAL] Vallo, D. (2021). Koncepcia výučby geometrie podporovanej implementáciou dynamických geometrických programov. Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre. FPV Nitra, 2021.
\( .\)