Neeuklidovská geometria euklidovsky
Poincaré model
- model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu
- stred premietanie je vrchol (spodná časť) hyperboloidu
- premietame do roviny kolmej na os hyperboloidu, ktorá prechádza stredom hyperboloidu
- priemetom hyperboloidu je zrejme otvorený kruh
- tento otvorený kruh so stredom sa nazýva Poincaré Disc
- dvojdielny hyperboloid a rovina kolmá na os hyperboloidu prechádzajúca jeho stredom Tu.
Tvrdenie
Dôkaz
- Dôkaz prvej časti tohto tvrdenia vyplýva z vlastností stredového premietania, v ktorom sa kužeľová plocha obaľujúca hyperboloid zobrazí do kružnice . To znamená, že ľubovoľný bod hyperboloidu sa zobrazí do vnútra kruhu . Otvorte si obrázok Tu
- Dôkaz druhej časti o priemete h-priamky (reálne stredovej hyperboly) rozdelíme na dve etapy i. a ii.
Pohybujte bodmi , applet si stiahnete Tu.- Nech je dvojica združených bodov hyperboloidu a nech sú ich stredové priemety. Pre súčin vzdialeností
bodov od stredu hyperboloidu platí:
.
Dôkaz toho, že súčin vzdialeností je konštantný je prezentovaný v nižšie priloženom applete. Pozrite si obrázok a otvorte si applet.
Obrázok, applet si otvoríte programom GeoGebra Tu. - Musíme ešte dokázať, že ľubovoľná dvojica združených bodov leží na kružnici kolmej na kružnicu . V tejto etape dôkazu budeme potrebovať tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici. Viac o mocnosti bodu ku kružnice nájdete v kurze Planimetria a stereometria Tu.
- Nech je dvojica združených bodov hyperboloidu a nech sú ich stredové priemety. Pre súčin vzdialeností
bodov od stredu hyperboloidu platí:
Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica a bod , ležiaci zvonka kružnice. Nech je sečnica kružnice vedená bodom a nech sú priesečníky sečnice s kružnicou . Pod mocnosťou bodu ku kružnici rozumieme číslo , pre ktoré platí: .
Je daná kružnica a bod , ležiaci zvonka kružnice. Nech je sečnica kružnice vedená bodom a nech sú priesečníky sečnice s kružnicou . Pod mocnosťou bodu ku kružnici rozumieme číslo , pre ktoré platí: .
Vlastnosť mocnosť stačí vhodne aplikovať na náš prípad. Ilustráciu tvrdenia o priemete h-priamky prezentuje nasledujúci applete. Podrobný dôkaz (časti ii.) nájde čitateľ v ďalšej podkapitole s názvom "Hyperbolická priamka". Pozrite si tiež kapitolu "The Poincaré Disk Model" v práci [HIT].