Neeuklidovská geometria euklidovsky
Definícia - rovnobežnosti
Euklides: Rovnoběžky jsou přímky, které jsou v téže rovině a prodlouženy na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají. (Servít)
Hilbert: Dve priamky sú rovnobežné (rovnobežky), ak nemajú spoločný bod.
Euklides: Rovnoběžky jsou přímky, které jsou v téže rovině a prodlouženy na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají. (Servít)
Hilbert: Dve priamky sú rovnobežné (rovnobežky), ak nemajú spoločný bod.
Tvrdenie (Euklides, Základy, T/XXVII).
Keď priamka pretínajúca dve priamky vytvára striedavé uhly navzájom rovnaké, budú tie priamky navzájom rovnobežné.
Dôkaz
Cvičenie; dôsledok vety o vonkajšom uhle
Keď priamka pretínajúca dve priamky vytvára striedavé uhly navzájom rovnaké, budú tie priamky navzájom rovnobežné.
Dôkaz
Cvičenie; dôsledok vety o vonkajšom uhle
Dôsledok - existencia rovnobežky.
Nech bod neleží na priamke . Potom existuje priamka taká, že .
Dôkaz.
Zvoľme si ľubovoľný bod na priamke . Zostrojme priamku (transverzála/priečka priamok ).
Následne zostrojíme priamku tak, aby striedavé uhly pri priamkach s transverzálou boli rovnaké (axióm Z4).
Rovnobežnosť vyplýva z vety o vonkajšom uhle trojuholníka.
Applet aktivujete Tu
Nech bod neleží na priamke . Potom existuje priamka taká, že .
Dôkaz.
Zvoľme si ľubovoľný bod na priamke . Zostrojme priamku (transverzála/priečka priamok ).
Následne zostrojíme priamku tak, aby striedavé uhly pri priamkach s transverzálou boli rovnaké (axióm Z4).
Rovnobežnosť vyplýva z vety o vonkajšom uhle trojuholníka.
Applet aktivujete Tu
Poznámka.
Dokázaním predchádzajúceho dôsledku sme ukázali existenciu rovnobežky, pričom sme použili predchádzajúce axiómy.
Teraz stačí formulovať axiómu, ktorá zaručí jednoznačnosť - existenciu jedinej rovnobežky.
Dokázaním predchádzajúceho dôsledku sme ukázali existenciu rovnobežky, pričom sme použili predchádzajúce axiómy.
Teraz stačí formulovať axiómu, ktorá zaručí jednoznačnosť - existenciu jedinej rovnobežky.
Playfairova axióma.
Pre každú priamku a pre každý bod existuje práve (najviac) jedna priamka rovnobežná s priamkou (ozn. ).
Pre každú priamku a pre každý bod existuje práve (najviac) jedna priamka rovnobežná s priamkou (ozn. ).
Piaty Euklidov postulát.
A keď priamka pretínajúca priamky dve priamky tvorí na tej istej strane vnútornej (priľahlej) uhly menšie dvoch pravých, tie dve priamky predĺžené do nekonečna sa zbiehajú na tej strane, kde sú uhly menšie dvoch pravých.
A keď priamka pretínajúca priamky dve priamky tvorí na tej istej strane vnútornej (priľahlej) uhly menšie dvoch pravých, tie dve priamky predĺžené do nekonečna sa zbiehajú na tej strane, kde sú uhly menšie dvoch pravých.
Tvrdenie(Základy, T/XXXII).
Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je rovný dvom pravým uhlom.
Dôkaz
Cvičenie; tvrdenie je ekvivalentné axióme rovnobežnosti.
Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je rovný dvom pravým uhlom.
Dôkaz
Cvičenie; tvrdenie je ekvivalentné axióme rovnobežnosti.