Didaktika matematiky

Slovo geometria pochádza z gréckeho výrazu hé gé meteón, čo znamená vymeriavanie pozemkov pomocou lán. Pozri prácu [SED]. Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l.

Základy geometrie nachádzame už v Babylone, Egypte, Indii a Číne. Veľký rozmach zaznamenala grécka matematika, ktorá nám zanechala dielo nesmiernej hodnoty - Euklidove Základy. 

Gréci boli prví, ktorí začali matematické tvrdenia dokazovať, pričom používali deduktívnu metódu.
Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj odpovede na otázku prečo.
Významní predstavitelia gréckej matematiky: Tháles, Pytagoras, Euklides, Archimedes.

V starom Grécku bol popísaný systém základných geometrických pojmov a vzťahov medzi nimi - postulátov.
Takýto kompletne spracovaný systém bol publikovaný v Euklidových Základoch. Pozrite si práce [EUC] a [SER]. Toto dielo sa považuje za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry.
Český preklad Euklidových Základov od Františka Servíta si môžete stiahnuť Tu. Existuje aj anglická elektronická verzia Tu.

V roku 1899 slávny matematik David Hilbert publikoval prácu Grundlagen der Geometrie, v ktorej navrhuje axiomatický systém, nahrádzajúci tradičné axiómy Euklida. V práci [HIL] sa uvádza šesť primitívnych pojmov. Tieto pojmy sú začlenené do dvoch skupín:

1. Primitívne objekty
• body - označujeme veľkými písmenami latinskej abecedy $A , B , C , ...$;
• priamky - na označenie používame malé písmená $a , b , c , ...$ a
• roviny - označujeme malými gréckymi písmenami $\alpha, \beta, \gamma , ...$.
2. Primitívne vzťahy (binárne relácie)
• incidencia - $A ∈ a$ ["bod $A$ leží na priamke $a$", "priamka $a$ prechádza bodom $A$", "bod $A$ a priamka $a$ sú incidentné"].
• vzťah "medzi" - $\mu(ABC)$ [usporiadanie troch kolineárnych bodov $A , B , C$, kde bod $B$ leží medzi bodmi $A , C$]; používa sa aj označenie $A \ast B \ast C$. Pozri prácu [CHAL].
• zhodnosť (kongruencia) - $u \cong v$ ["úsečka $u$ je zhodná s úsečkou $v$"], zhodnosť uhlov, zhodnosť trojuholníkov.
Primitívne objekty nedefinujeme, vieme však jednoznačne rozhodnúť o vzťahoch medzi nimi. Interpretáciu primitívnych vzťahov reprezentuje nasledujúci applet, ktorý si aktivujete Tu.

Hilbertov axiomatický systém pozostáva z piatich skupín axióm.

1. axiómy incidencie
2. axiómy usporiadania
3. axiómy zhodnosti (kongruencie)
4. axióma o rovnobežnosti
5. axiómy spojitosti
Axiómy charakterizujú vzťahy medzi primitívnymi objektmi. Axiomatický systém obsahuje celkom 20 axióm.

Viac o Hilbertovom axiomatickom systéme nájde čitateľ v kurze Planimetria a stereometria Tu.