Kupcová, Ľ.: Nerovnosti a nerovnice
Úvod
Známe nerovnosti
Nech sú ľubovoľné reálne čísla. Potom platia nerovnosti:
Harmonický priemer
Geometrický priemer
Aritmetický priemer
Kvadratický priemer
Harmonický priemer
Geometrický priemer
Aritmetický priemer
Kvadratický priemer
Dôkaz matematickou indukciou:
- Pre dôkaz je prijateľný na úrovni 1. ročníka strednej škola. Použijeme najskôr algebraické úpravy, pričom nerovnosť aritmetického a geometrického priemeru
,
prepíšeme do ekvivalentnej formy
,
ktorá je pravdivým výrokom pre ľubovoľné dve reálne čísla. Pre stredoškolákov je prijateľná aj geometrická verzia tohto dôkazu, kde sa využíva Euklidova veta o výške.
Uvažujme pravouhlý trojuholník s pravým uhlom pri vrchole . Nech Tálesova polkružnica zostrojená nad preponou (obrázok) má polomer a nech je bod, pre ktorý platí a . Kolmica k prepone prechádzajúca bodom je zrejme výška trojuholníka pretínajúca Tálesovu polkružnicu v bode . Trojuholníky a sú podobné, preto platí . Odtiaľ následne . Jednoznačne polomer kružnice . Rovnosť nastane len ak platí resp. .
Otvorte si applet Tu - Pre môžeme využiť nasledovný dôkaz:
Geometrický priemer čísel označme , ďalej označme
, , ...,
, , ...,
Pretože sú n-tice opačne usporiadané, platí nasledujúca nerovnosť, do ktorej rovno čísla , dosadíme a ekvivalentne upravíme:
,
,
Tým je AG-nerovnosť pre čísla dokázaná.