Stereometrické vzťahy
Metrické vzťahy
Vzdialenosť útvarov
Nech je kolmica na rovinu .
Priesečník kolmice s danou rovinou nazveme päta kolmice.
Ak , tak na základe vlastnosti pravouhlého trojuholníka ( prepona je väčšia ako odvesna) platí
.
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.
Ak , tak na základe vlastnosti pravouhlého trojuholníka ( prepona je väčšia ako odvesna) platí
.
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.
Definícia.
- Vzdialenosť bodu od roviny je dĺžka úsečky , kde bod je päta kolmice z bodu na rovinu .
- Pod vzdialenosťou dvoch geometrických útvarov sa rozumie najmenšia z úsečiek (alebo dĺžka tejto úsečky) pre .
- Vzdialenosťou dvoch rovnobežných rovín nazývame vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej z rovín od druhej roviny.
Dôsledky.
Cvičenie.
V kocke určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vrcholu od roviny . Dĺžka hrany kocky sa rovná nenulovému reálnemu číslu .
V kocke určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vrcholu od roviny . Dĺžka hrany kocky sa rovná nenulovému reálnemu číslu .
Popis konštrukcie a výpočet
Vzdialenosť bodu od roviny sa rovná dĺžke úsečky , kde je päta kolmice z bodu na rovinu .
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom a kolmá na rovinu je telesová uhlopriečka .
Zrejme päta kolmice na rovinu (rovnostranný trojuholník) je ortocentrom a zároveň ťažiskom trojuholníka . Ďalej platí . Odkiaľ vyplýva: .
Vzdialenosť bodu od roviny sa rovná dĺžke úsečky , kde je päta kolmice z bodu na rovinu .
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom a kolmá na rovinu je telesová uhlopriečka .
Zrejme päta kolmice na rovinu (rovnostranný trojuholník) je ortocentrom a zároveň ťažiskom trojuholníka . Ďalej platí . Odkiaľ vyplýva: .