Stereometrické vzťahy

Stereometria sa nazýva geometria založená na axiómach, základných definíciách a na vybudovanej planimetrii. Uvádzame len niektoré axiómy a definície.

Axiómy incidencie v rovine
I1: Dvoma rôznymi bodmi $A, B$ prechádza práve jedna priamka.
I2: Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.
I3: Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych bodov.
Axiómy incidencie v priestore
I4: Tromi nekolineárnymi bodmi $A, B,C$ prechádza práve jedna rovina.
I5: V každej rovine existujú aspoň tri nekolineárne body.
I6: Ak dva rôzne body $A, B$ priamky $p$ ležia v rovine $\alpha$, potom každý bod priamky $p$ leží v rovine $\alpha$.
I7: Ak dve roviny $\alpha, \beta$ majú spoločný bod $A$, potom majú spoločný ešte aspoň jeden bod $B$, rôzny od $A$.
I8: Existuje aspoň jedna štvorica nekomplanárnych bodov $A, B,C,D$.

Definície - vzájomná poloha dvoch priamok

1. Dve priamky, ktoré ležia v jednej rovine a nemajú spoločný bod, sa nazývajú rovnobežné priamky alebo rovnobežky.
2. Rôznobežky sú dve priamky, ktoré majú spoločný práve jeden bod. Spoločný bod sa nazýva priesečník priamok.
3. Dve priamky, ktoré neležia v žiadnej rovine, sa nazývajú mimobežné priamky alebo mimobežky.

Poznámky.

1. Množina bodov sa nazýva kolineárna, ak je incidentná s nejakou priamkou. Množina bodov sa nazýva komplanárna, ak je incidentná s nejakou rovinou.
2. Ak každý bod priamky $a$ leží v danej rovine $\alpha$, hovoríme, že priamka $a$ leží v rovine $\alpha$ [je incidentná s rovinou $\alpha$]; hovoríme tiež, že rovina α prechádza priamkou $a$.
3. Existencia mimobežných priamok je zaručená axiómou I8.
4. Ak štvorica bodov $A, B,C,D$ je nekomplanárna, tak dvojice priamok $\overleftrightarrow{AB} , \overleftrightarrow{CD}, \overleftrightarrow{AC}, \overleftrightarrow{BD}, \overleftrightarrow{AD}, \overleftrightarrow{BC}$ sú mimobežné.

Doporučená literatúra

1. Sklenáriková, Z. – Čižmár, J.: Elementárna geometria euklidovskej roviny. Skriptum, vyd. UK, Bratislava 2002, ISBN 80-223-1585-0
2. Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI Bratislava 2006. Dostupné Tu

Definície - rovnobežnosť

1. Priamky $a,b$ sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak $a = b \; (a \equiv b)$ alebo existuje rovina, v ktorej obe priamky ležia a nemajú žiaden spoločný bod.
   $a \parallel b \Leftrightarrow (a = b) \vee ( \exists \alpha : a \cup b \subset \alpha \;\wedge \;a \cap b = \emptyset)$
2. Priamka $a$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$ práve vtedy, ak priamka $a$ leží v rovine α alebo s ňou nemá žiaden spoločný bod.
   $a \parallel \alpha \Leftrightarrow (a \subset \alpha ) \vee (a \cap \alpha = \emptyset)$
3. Dve roviny $\alpha, \beta$ sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak: alebo α = β alebo tieto roviny nemajú žiaden spoločný bod.
   $\alpha \parallel \beta \Leftrightarrow ( \alpha= \beta ) \vee ( \alpha\cap \beta = \emptyset)$

Poznámky

1. Dve priamky sú rovnobežné, alebo rôznobežné, alebo mimobežné.
2. Priamka je s rovinou rovnobežná, alebo rôznobežná.
3. Dve roviny sú rovnobežné, alebo rôznobežné.

Tieto tvrdenia sa ľahko dokážu pomocou dichotomického princípu vzhľadom na prienik daných útvarov. Napríklad:

1. Prienik $\small P$ $=a \cap b$ dvoch priamok môže byť buď prázdna množina alebo neprázdna.
   • V prvom prípade sú priamky buď rovnobežné - ak ležia v jednej rovine, alebo mimobežné - ak neležia v jednej rovine.
   • V druhom prípade môže prienik $\small P$ $=a \cap b$ obsahovať jeden bod - priamky sú rôznobežné alebo viac bodov oboch priamok - priamky sú totožné (axióma I1).

Kritérium rovnobežnosti priamky a roviny
Priamka $a$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$ práve vtedy, ak je rovnobežná s aspoň jednou priamkou $a'$ roviny $\alpha$ ($a' \subset \alpha$). Symbolicky
$a \parallel \alpha\; \Leftrightarrow\; \exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a$.

Dôkaz - pri dokazovaní využijeme dichotomický princíp vzhľadom na prienik priamky $a$ a roviny $\alpha$

1. Nutná podmienka (dôkaz implikácie): $(a \parallel \alpha )\Rightarrow (\exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a)$. V zmysle definície rovnobežnosti priamky a roviny, môžu nastať dva prípady: 
   1. $(a \subset \alpha) \Rightarrow ( \exists a'=a; \;a \parallel a')$. 
   2. $a \cap \alpha = \emptyset$: Nech $\small P$ $\in \alpha$ je bod ľubovoľný bod. Keďže $\small P$ $\notin a$, tak existuje práve jedna rovina $\beta=(a,\small P )$ a priesečnica
      $a'= \beta \cap \alpha$, pričom bude $a \cap a'= \emptyset$.
      V opačnom prípade by existoval bod $\small A$ $\in a \cap a'$, ktorý by bol spoločným bodom priamky $a$ a roviny $\alpha$. To je spor s predpokladom $a \cap \alpha= \emptyset$. Záver: $a \parallel a'$.
      
2. postačujúca podmienka - $(\exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a) \Rightarrow (a \parallel \alpha )$. Môžu nastať dva prípady pre vzájomnú polohu priamok $a,a'$:
   1. $(a = a' \subset \alpha ) \Rightarrow (a \parallel a') \Rightarrow ( a \parallel \alpha)$.
   2. $(a \cap a' = \emptyset \; \wedge \;a \parallel a') \Rightarrow ( a \cap \alpha =\emptyset ) \Rightarrow (a \parallel \alpha)$.
      Dokázať, že $a∩ α = ∅$ môžeme aj nepriamo. Nech bod $\small A \in a\cap \alpha )$ a nech $\beta=(a,a')$, potom $\small A$ $\in \alpha \cap \beta$. Odkiaľ dostávame, že bod $\small A$ $\in a\cap a'$, čo je spor s rovnobežnosťou týchto priamok. Záver: $a \parallel \alpha$.
      

      $\small \blacksquare$

Tvrdenia : relácia rovnobežnosti má nasledujúce vlastnosti

1. $a \parallel b \; \wedge \; b \parallel c \;\;\Rightarrow a \parallel c$
2. $a \parallel \alpha \; \wedge \; \alpha \parallel \beta \Rightarrow a \parallel \beta$
3. $\alpha \parallel \beta \Rightarrow \forall a \in \alpha : a \parallel \beta$
4. $a \parallel b \;\wedge \;b \parallel \alpha \; \Rightarrow a \parallel \alpha$
5. $\alpha \parallel \beta \;\wedge\; \beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma$

Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na cvičení ich budete prezentovať.

Kritérium rovnobežnosti dvoch rovín
Dve roviny $\alpha, \beta$ sú rovnobežné práve vtedy, ak jedna z nich obsahuje dve rôznobežky $a,b \in \alpha$, ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou $a \parallel \beta \wedge b \parallel \beta$. Symbolicky
$(\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow\; (\exists a,b \subset \alpha \; \wedge \; \exists a',b' \subset \beta: \; a\parallel a' \; \wedge \; b \parallel b')$.

Dôkaz 

1. Nutná podmienka - $\alpha \parallel \beta \Rightarrow \cdot \cdot \cdot$. Môžu nastať dva prípady:
   1. $(\alpha= \beta ) \Rightarrow ((\exists a,b \subset \alpha)\wedge ( \exists a'=a,b'=b)) \Rightarrow a\parallel \beta \wedge b\parallel \beta$ .
   2. $\alpha\cap \beta = \emptyset$: Potom existujú rôznobežky $\exists a,b \subset \alpha$, pre ktoré platí $a\cap \beta = \emptyset, b\cap \beta = \emptyset$. Ak by tieto prieniky neboli prázdne množiny, tak by aj $\alpha\cap \beta \neq \emptyset$, čo je spor s predpokladom.
      Otvorte si applet Tu
2. postačujúca podmienka - $(\exists a,b \subset \alpha, a',b' \subset \beta ) \wedge (a\parallel a',b\parallel b') \Rightarrow )\alpha\parallel \beta )$
   1. Ak $\alpha\cap \beta = \emptyset$, tak $\alpha \parallel \alpha$.
   2. Ak $\alpha\cap \beta \neq \emptyset$ a nech existujú rôznobežky (predpokad) $a,b \subset \alpha, a',b' \subset \beta$. Potom roviny majú spoločnú priamku $p$: $\alpha \cap \beta=p$,
      
      ktorá pretína aspoň jednu rôznobežku $a,b$ (môže byť rovnobežná najviac s jednou z nich). Nech je to priamka $a$; označme $p \cap a =\small A$ . To ale znamená, že bod $\small A$ by ležal v rovine $\beta (p \subset \beta)$ a bol by i spoločným bodom priamky $a$ s rovinou $\beta$. Je to spor s predpokladom $a\parallel \beta$.
      

      $\small \blacksquare$

Dohovor
Ak sa medzi skúmanou trojicou rovín $\alpha, \beta, \gamma$ vyskytne dvojica rovín navzájom rovnobežných, tak bez ujmy na obecnosti ju označíme $( \alpha, \beta)$ (lexikografický prístup).
To neznamená, že dvojicou rovnobežných rovín nemôže byť dvojica $( \alpha, \gamma )$ alebo $( \beta, \gamma )$.

Tvrdenie
     Pre roviny $\alpha, \beta$ platí práve len jedno z nasledujúcich tvrdení:
$(\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow \; (\alpha \cap \beta=\emptyset)$
$(\alpha \nparallel \beta) \; \Leftrightarrow\; ( \alpha \cap \beta= \lbrace{p}\rbrace )$.

Klasifikácia vzájomnej polohy troch rovín

1. Nech platí $\alpha \parallel \beta$. Pre rovinu $\gamma$ potom platí: alebo $\alpha \parallel \gamma$ alebo $\alpha \cap \gamma = \{ b \}$
1. Uvažujme o rovinách $\alpha, \beta, \gamma$, pre ktoré $\alpha \parallel  \beta$, $\alpha \parallel \gamma$. Obrázok vľavo. Z tranzitívnosti relácie rovnobežnosti rovín vyplýva záver: $\alpha, \beta, \gamma$ je trojica navzájom rôznych rovnobežných rovín. 
   
2. Nech platí: $\alpha \parallel \beta$  ∧  $\alpha \cap \gamma =\{ b \}$. Dôsledkom je rôznobežnosť rovín $\beta, \gamma$ (v opačnom prípade by boli všetky tri roviny navzájom rovnobežné, čo je spor s predpokladom). Je zrejmé, že priesečnice dvojíc rovín$( \alpha, \gamma) ,( \beta, \gamma )$ sú navzájom rovnobežné priamky. (Odôvodnite.) Záver: Roviny $\alpha \beta ,$ sú navzájom rovnobežné a rovina $\gamma$ ich pretína v dvoch navzájom rovnobežných priamkach $b = \alpha \cap \gamma ; a = \beta \cap \gamma$. Obr. vpravo.
2. Nech platí: $\alpha \cap \beta =\{ c \}$. Skúmajme vzájomnú polohu priamky $c$ s rovinou $\gamma$. Môže nastať práve jeden z prípadov: ($c \subset \gamma$ alebo $c \cap \gamma =\small M$ alebo $c \cap \gamma = \emptyset$.


1. V prvom prípade majú tri roviny spoločnú práve jednu priamku. 
2. V druhom prípade platí $\alpha\cap \beta=\{ c \} , c\cap \beta = \{ \small M \}, \alpha \cap \beta \cap \gamma = \{ \small M \}$. Záver: Roviny majú spoločnú práve jednu priamku.
3. Platí $a \parallel b \parallel c$. Záver: Všetky dvojice rovín sa pretínajú a tieto priesečnice sú navzájom rôzne rovnobežky.

Tvrdenie. Existuje päť vzájomných polôh troch navzájom rôznych rovín:

1. všetky tri roviny sú navzájom rovnobežné
2. dve rovnobežné roviny pretína tretia v navzájom rovnobežných priamkach
3. všetky tri roviny majú spoločnú práve jednu priamku (os zväzku rovín)
4. všetky tri roviny majú spoločný práve jeden bod
5. všetky dvojice rovín sú navzájom rôznobežné roviny a ich priesečnice sú navzájom rôzne rovnobežné priamky.

______________________________________________________________
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006

Medzi základné metrické pojmy zaraďujeme

1. uhol - dvoch priamok, priamky a roviny a dvojice rovín.
2. kolmosť - dvoch priamok, kolmosť priamky a roviny a kolmosť dvojice rovín, kritériá kolmosti
3. vzdialenosť- dvoch geometrických útvarov.

V časti Planimetria - Euklidove Základy sme ukázali, že v euklidovskej rovine (dokonca aj v neeuklidovskej - Poincare model) možno zostrojiť kolmú priamku¹⁾ na ľubovoľnú inú priamku roviny. V stereometrii musíme najskôr definovať uhol dvoch mimobežných priamok. 

Definícia
Uhol mimobežných priamok $a, b$ je uhol zhodný s uhlom ľubovoľných dvoch rôznobežiek $a', b'$, pričom $a \parallel a', b \parallel b'$.
Otvorte si applet Tu
V applete posúvaním bodov $\small R,S$ vytvorte takú polohu mimobežiek, aby boli na seba kolmé.

Aby bola definícia korektná, dokážeme najprv nezávislosť takto definovaného uhla od výberu dvojice rôznobežiek $a', b'$.

Tvrdenie
Nech $a, b$ sú dve ľubovoľné mimobežky a nech $\small M',M''$ sú dva body $\small E_3$. Zostrojme priamky $a', b'$ a $a'', b''$ tak, aby $\small M'$ $\in a' \cap b'$ a $\small M''$ $\in a'' \cap b''$ a zároveň $a' \parallel a'', b' \parallel b''$. Potom platí: $\angle a'b'=\angle a''b''$.

Dôkaz
Zvoľme si dva rôzne body $\small A',B'$ incidentné s rovnomennými priamkami tak, aby $\small A' \neq M \neq B'$. Pozri obrázok nižšie. Ďalej zostrojme body $\small A'',B''$ tak, aby útvary $\small A'M'M''A'', B'M'M''B''$ boli rovnobežníky. Je zrejmé, že aj útvar $\small A'B'B''A''$ je rovnobežníkom a trojuholníky $\small A'M'B', A''M''B''$ sú zhodné (veta sss). Preto sa zhodujú vo všetkých uhloch.

$\small \blacksquare$

Definícia

1. Uhlom priamok $a,b$ nazývame uhol ľubovoľných dvoch nedisjunktných priamok $a',b'$, pre ktoré platí: $a \parallel a', b \parallel b'$ . Uhol dvoch rovnobežiek nazývame nulovým uhlom.
     Otvorte si applet Tu
2. Kolmé priamky nazývame také priamky, ktorých uhol je pravý.
3. Priamka kolmá na rovinu [hovoríme aj kolmica na rovinu] je priamka kolmá na všetky priamky roviny.

Dôsledok

1. Priamka kolmá na rovinu je s touto rovinou rôznobežná.
2. Priamka kolmá na dve rôznobežky danej roviny je s touto rovinou rôznobežná.

________________________________________________________________
1) Euklidove Základy, Kniha 1,Tvrdenie XI a XII.

Tvrdenie - kritérium kolmosti priamky a roviny.
Priamka je kolmá na rovinu práve vtedy, keď je kolmá na dve rôznobežné priamky tejto roviny.  

Dôkaz

1. Nutnosť ($\Rightarrow$). Predpokladajme, že $k \bot \alpha$. Z kolmosti priamky $k$ na všetky priamky roviny (definícia) vyplýva jej kolmosť na ľubovoľné dve jej rôznobežky.
2. Dostatočnosť $\Leftarrow$). Nech priamka $k \bot a' \; \wedge \; k \bot b'; \; a', b' \subset \alpha$. Treba dokázať, že priamka k je kolmá na všetky priamky danej roviny. Zvoľme si ľubovoľnú priamku $c' \subset \alpha$.
   Podľa predchádzajúceho dôsledku je priamka $k$ s rovinou $\alpha$ rôznobežná. Označme $\small P$ ich spoločný bod a zostrojme priamky $a, b, c$ prechádzajúce týmto bodom a rovnobežné s priamkami $a', b', c'$. Stačí dokázať: $k \bot c$ (prečo? vysvetlite).
   
   Zvoľme si ľubovoľné body $\small A,B$ ležiace na rovnomenných priamkach tak, aby priamka $c \cap\small AB \neq \emptyset$. Označme $c \cap\small AB=C$. Ďalej nech sú $\small P_1,P_2$ ľubovoľné dva body, pre ktoré je bod $\small P$ je stredom úsečky $\small P_1P_2$.
   Potom platí:
   $\small \triangle PAP_1 ≅ \triangle PAP_2$ a $\small \triangle PBP_1 ≅ \triangle PBP_2$ (sus)
   odkiaľ dostávame zhodnosť úsečiek $\small P_1A , P_2A$ resp. $\small  P_1B, P_2B$. Preto platí
   $\small \triangle P_1AB ≅ \triangle P_2AB$ (sss)
   $\small \angle P_1AB ≅ \angle P_2AB \Rightarrow \angle P_1AC≅ \angle P_2AC$.
   Dôsledkom je zhodnosť trojuholníkov $\small P_1AC,P_2AC$ (sus), teda i zhodnosť úsečiek
   $\small P_1C ≅ CP_2$.
   Preto $\small \triangle PCP_1 ≅ \triangle PCP_2$ (sss), čo znamená, že sú zhodné i uhly v týchto trojuholníkoch pri vrchole $\small P$. Pretože ide o susedné uhly, sú oba uhly pravé, t.j. priamka $k$ je kolmá na priamku $c$.

Poznámky.

1. Kolmosť dvoch priamok je relácia symetrická ale nie je reflexívna ani tranzitívna.
2. Kritérium kolmosti priamky a roviny vyjadruje nevyhnutnú a dostačujúcu podmienku kolmosti priamky a roviny, ale nehovorí nič o existencii takejto priamky. Existencia priamky kolmej na rovinu je dôsledkom nasledujúceho nasledujúcom tvrdenia.
3. Namiesto vyjadrenia „priamka je kolmá na rovinu“ budeme tiež používať vyjadrenie „rovina je kolmá na priamku“. Analogicky ako v a) budeme hovoriť, že priamka a rovina sú navzájom kolmé.

Tvrdenie - existencia priamky kolmej na rovinu.
Existuje práve jedna priamka prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú rovinu α .

Dôkaz

1. Existencia priamky kolmej na na priamku vyplýva z Euklidových tvrdení T/XI a T/XII zo Základov, Kniha 1. Existencia kolmice na rovinu sa dá zdôvodniť z týchto tvrdení a konštrukcie uvedenej v nasledujúcom applete.
    Applet Tu
2. Jednoznačnosť takej kolmice dokážeme nepriamo s vyžitím obrázka
   
   Ak by existovali dve navzájom rôzne priamky $^1 k,\; ^2 k$ požadovanej vlastnosti, tak by ich priesečníky  $\small ^1 R,\; ^2 R$ s rovinou $\alpha$ boli navzájom rôzne body a trojuholník $\small ^1 R\; ^2 RM$ by bol trojuholníkom s dvoma pravými uhlami, čo je spor s vetou o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku euklidovskej roviny.

Tvrdenie - existencia roviny kolmej na priamku.
Existuje práve jedna rovina prechádzajúca daným bodom M a kolmá na danú priamku m.

Dôkaz - analogický (konštrukčný) ako v predchádzajúcom tvrdení

Dôsledok
Dve roviny kolmé na tú istú priamku sú navzájom rovnobežné.

Nech $k$ je kolmica na rovinu $\alpha$. Priesečník $\small R$ kolmice s danou rovinou nazveme päta kolmice.

Ak $\small M \neq R$, tak na základe vlastnosti pravouhlého trojuholníka ( prepona je väčšia ako odvesna) platí
$\small \forall X$ $\in \alpha:\; \small MX > MR$.
To nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu vzdialenosti bodu od roviny.

Definícia.

1. Vzdialenosť bodu $\small M$ od roviny $\alpha$ je dĺžka úsečky $\small MR$, kde bod $\small R$ je päta kolmice z bodu $\small M$ na rovinu $\alpha$.
2. Pod vzdialenosťou dvoch geometrických útvarov $\small U_1,U_2$ sa rozumie najmenšia z úsečiek $\small XY$ (alebo dĺžka tejto úsečky) pre $\small X \in U_1, Y \in U_2$ .
3. Vzdialenosťou dvoch rovnobežných rovín nazývame vzdialenosť ľubovoľného bodu jednej z rovín od druhej roviny.

Dôsledky.

1. Všetky priamky kolmé na tú istú rovinu sú navzájom rovnobežné.
2. Vzdialenosť bodu $\small M$ od roviny a je najmenšia z úsečiek $\small MX, \;X$ $\in \alpha$.

Cvičenie.
V kocke $\small ABCDA'... D'$ určte konštrukčne i výpočtom vzdialenosť vrcholu $\small A'$ od roviny $\small AB'D'$. Dĺžka hrany kocky sa rovná nenulovému reálnemu číslu $a$.

Popis konštrukcie a výpočet
Vzdialenosť bodu $\small A'$ od roviny $\alpha =\small AB'D'$ sa rovná dĺžke úsečky $\small A'R$, kde $\small R$ je päta kolmice z bodu $\small A'$ na rovinu $\alpha$.
Keďže telesová uhlopriečka kocky je kolmá na všetky jej stenové uhlopriečky, s ktorými nie je rôznobežná (dokážte to), tak priamka prechádzajúca bodom $\small A'$ a kolmá na rovinu $\alpha$ je telesová uhlopriečka $\small A'C$.

Zrejme päta $\small R$ kolmice $\small A'C$ na rovinu $\small AB'D'$ (rovnostranný trojuholník) je ortocentrom a zároveň ťažiskom trojuholníka $\small \triangle AB'D'$. Ďalej platí $\small \mu( A'CR )$ $= - \frac{1}{2}$. Odkiaľ vyplýva: $d(\small A$ $, \alpha)=\small |A'R|=|A'C|$ $= \frac{a \sqrt[]{3} }{3}$.

______________________________________________________________
Obrázky sú prevzaté z publikácie
Klenková, P.: Stereometria – elementárna geometria trojrozmerného euklidovského priestoru, Diplomová práca, UK FMFI, Bratislava 2006

Uhol dvoch priamok sme definovali ako uhol dvoch ľubovoľných nedisjunktných priamok rovnobežných s danými priamkami. Pri uhla priamky a rovinou budeme potrebovať pojem kolmého priemetu priamky do roviny.
Nech $a$ je priamka, ktorá nie je kolmá na danú rovinu $\alpha$. Nech $\lambda$ je rovina kolmá na danú rovinu $\alpha$, ktorá prechádza priamkou $a\; ( a \subset \lambda)$. Rovinu $\lambda$ budeme nazývať kolmo premietajúca rovina priamky $a$. Priesečnicu $a_1=a\cap \lambda$ nazveme kolmý priemet priamky do roviny.
 Otvorte si applet Tu

Definície

1. Uhlom priamky $a$ s rovinou $\alpha$, ktorá nie je kolmá na $\alpha$, nazývame uhol priamky $a$ s jej kolmým priemetom $a_1$ do roviny $\alpha$.
   $\varphi= \sphericalangle (a, \alpha)= \sphericalangle (a, a_1)$
2. Ak je priamka kolmá na rovinu, hovoríme, že jej uhol s rovinou je pravý.
3. Uhlom dvoch rôznobežných rovín $\alpha, \beta$ nazývame uhol priamok $a \subset \alpha,b \subset \beta: a \bot \alpha \cap \beta, b \bot \alpha \cap \beta$, ktoré sú kolmé na priesečnicu $p=\alpha \cap \beta$.

Poznámky

1. Uhol dvoch rovnobežných rovín nazývame nulový uhol.
2. O rovinách, ktorých uhol je zhodný s pravým uhlom hovoríme, že sú navzájom kolmé.

Tvrdenie Uhol priamky s rovinou je zhodný s doplnkovým uhlom k uhlu priamky s kolmicou na túto rovinu.

Dôsledok
Uhol dvoch rovín je zhodný s uhlom priamok kolmých na tieto roviny.

Obr. prevzatý z práce Klenková P., Stereometria, 2006

Tvrdenie - kritérium kolmosti rovín
Dve roviny sú na seba kolmé práve vtedy, ak jedna z rovín obsahuje priamku kolmú na druhú rovinu.
(Takúto priamku obsahuje prirodzene každá z rovín na seba kolmých. Stačí, ak jedna z rovín je rovnobežná s priamkou kolmou na zvyšnú rovinu.)

Cvičenie.
Daný je pravidelný trojboký hranol $\small ABCA'B'C'$, ktorého stenové pravouholníky sú štvorce. Zostrojte uhol zhodný s uhlom priamok $\small BC', AC$ a výpočtom určte jeho veľkosť.

Dokážte tvrdenia

1. $a \parallel b \; \wedge \; b \parallel c \;\;\Rightarrow a \parallel c$
2. $a \parallel \alpha \; \wedge \; \alpha \parallel \beta \Rightarrow a \parallel \beta$
3. $\alpha \parallel \beta \Rightarrow \forall a \in \alpha : a \parallel \beta$
4. $a \parallel b \;\wedge \;b \parallel \alpha \; \Rightarrow a \parallel \alpha$
5. $\alpha \parallel \beta \;\wedge\; \beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \parallel \gamma$

Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na seminári ich budete prezentovať.

Cvičenie

1. Daný je pravidelný šesťboký ihlan $\small ABCDEFV$. Určte uhol priamok $a, b$, ak $b =\small \overleftrightarrow{CD}, a = \small \overleftrightarrow{PS}$ pre $\small \mu (BEP) = -\frac{1}{3}, \mu (VES) = -1$. Zadanie - šesťboký ihlan Tu
2. Daný je rovnobežnosten $\small ABCDA'B'C'D'$. Zostrojte priesečník priamky $a= \overleftrightarrow{AC}$ s rovinou $\alpha=\small \overleftrightarrow{AB'D'}$. Určte deliaci pomer $\small \mu( A'CR); \; R$ $=a \cap \alpha$. Zadanie - rovnobežnosten Tu.
3. Určite vzájomnú polohu priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom $\small H=ABCDEFA'B'... F'$, ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy. V prípade existencie prieniku (úsečka $\small XY$ zostrojte úsečku zhodnú s prienikom (pri zvolenej dĺžke podstavnej hrany telesa). $a=\small \overleftrightarrow{MN}; \; \mu(SCM)=2; \;\mu(ABS)=-1; \;\mu(E'F'N)=2$ .
4. Konštrukčne i výpočtom určite vzdialenosť vrchola $\small C$ kocky od roviny $\small BDC'$. Dĺžku hrany kocky si zvoľte ľubovoľne.
5. Daný je kváder $\small ABCDA'B'C'D'$. Zostrojte rez kvádra s rovinou $\alpha=\small \overleftrightarrow{KLM}$ a útvar zhodný s rezovým $n$-uholníkom, ak: $\small \mu(AA'K)=\mu( ABL)=-3; \; \mu(CC'M)=-1; \;|AB|= 4; \; |BC|=3; \; |AA'|=5$. Kváder Tu.
6. Klenková - Stereometria, Cvičenia 1 až 15, Str. 38 až 40.; príklady 4.5 až 4.8, Str. 61 až 63; Cvičenia na str. 64

Cvičenie.

1. Daný je pravidelný šesťboký ihlan $\small ABCDEFV$. Určte uhol priamok $a, b$, ak $b =\small \overleftrightarrow{CD}, a = \small \overleftrightarrow{PS}$ pre $\small \mu (BEP) = -\frac{1}{3}, \mu (VES) = -1$.
    Applet Tu
2. ...
3. ...
4. ...
5. ...
6. ...