Stereometrické vzťahy
Rovnobežnosť útvarov
Definície - rovnobežnosť
- Priamky sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak alebo existuje rovina, v ktorej obe priamky ležia a nemajú žiaden spoločný bod.
- Priamka je rovnobežná s rovinou práve vtedy, ak priamka leží v rovine α alebo s ňou nemá žiaden spoločný bod.
- Dve roviny sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak: alebo α = β alebo tieto roviny nemajú žiaden spoločný bod.
Poznámky
- Dve priamky sú rovnobežné, alebo rôznobežné, alebo mimobežné.
- Priamka je s rovinou rovnobežná, alebo rôznobežná.
- Dve roviny sú rovnobežné, alebo rôznobežné.
Kritérium rovnobežnosti priamky a roviny
Priamka je rovnobežná s rovinou práve vtedy, ak je rovnobežná s aspoň jednou priamkou roviny (). Symbolicky
.
Priamka je rovnobežná s rovinou práve vtedy, ak je rovnobežná s aspoň jednou priamkou roviny (). Symbolicky
.
Dôkaz
- pri dokazovaní využijeme dichotomický princíp vzhľadom na prienik priamky a roviny
Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na cvičení ich budete prezentovať.
Kritérium rovnobežnosti dvoch rovín
Dve roviny sú rovnobežné práve vtedy, ak jedna z nich obsahuje dve rôznobežky , ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou . Symbolicky
.
Dve roviny sú rovnobežné práve vtedy, ak jedna z nich obsahuje dve rôznobežky , ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou . Symbolicky
.
Dôkaz
- Nutná podmienka - . Môžu nastať dva prípady:
- .
- : Potom existujú rôznobežky , pre ktoré platí
. Ak by tieto prieniky neboli prázdne množiny, tak by aj ,
čo je spor s predpokladom.
Otvorte si applet Tu
- postačujúca podmienka -
- Ak , tak .
- Ak a nech existujú rôznobežky (predpokad) . Potom roviny majú spoločnú priamku : ,
ktorá pretína aspoň jednu rôznobežku (môže byť rovnobežná najviac s jednou z nich). Nech je to priamka ; označme . To ale znamená, že bod by ležal v rovine a bol by i spoločným bodom priamky s rovinou . Je to spor s predpokladom .
... ...