Didaktika matematiky

Matematik Pytagorovej školy Hippasus (5. stor. pred n. l.) ukázal, že uhlopriečka štvorca s jednotkovou stranou nemôže byť vyjadrená racionálnym číslom¹⁾

Hippasus pravdepodobne dospel k záveru, že $u^2=1^2+1^2$ a po úprave dostal kvadratickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi $u^2=2$.

Tvrdenie.
S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel $\small Q$ riešenie.

Dokážeme to nepriamo.
Nech existuje racionálne číslo $\small r \in Q$, ktoré je riešením rovnice $x^2=2$. Potom zrejme $r= \frac{p}{q}$, pričom celé čísla $p,q$ sú nesúdeliteľné. Najväčší spoločný deliteľ čísel $p,q$je rovný $1$.
Po dosadení do rovnice $x^2=2$ a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť $p^2=2.q^2$. Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo $2$ delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. Teda číslo $p^2$ je párne, preto musí byť aj číslo $p$ párne. (Dokážte to). To znamená, že je v tvare $p=2k$. Po dosadení do rovnosti $p^2=2.q^2$ dostávame
$(2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2$.
Analogickou úvahou zistíme, že číslo $q$ je párne. Keďže aj číslo $p$ je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel $p,q$ je väčší alebo rovný číslu $2$.
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo $r= \frac{p}{q}$, kde $p,q$ sú nesúdeliteľné celé čísla. Pozrite si zápis dôkazu v GeoGebre Tu.

Poznámka.
Ak označíme jedno riešenie rovnice $u^2=2$ symbolom $\sqrt[]{2}$ (druhá odmocnina z dvoch), tak toto číslo nie je racionálne číslo. Zrejme aj $-\sqrt[]{2}$  je riešením rovnice $u^2=2$ a tiež nie je racionálne.

Cvičenie.
Zapíšte dôkaz ... v GeoGebre.

Reálne čísla zavádzame pomocou Dedekindových rezov na množine racionálnych čísel.

Podmnožinu $\alpha \subset Q$ nazývame Dedekindovým rezom množiny $Q$, ak

1. podmnožina $\alpha$ je neprázdna množina: $\alpha \neq \emptyset$
   
2. doplnok $\alpha'$ podmnožiny $\alpha$ v množine $Q$ je tiež neprázdny: $\alpha'= Q-\alpha \neq \emptyset$.
3. Nech $a$ je prvkom rezu $\alpha$ a nech $b \in Q$ má vlastnosť $b \leq a$. Potom musí aj racionálne číslo $b$ patriť do rezu: $b \in \alpha$.
4. Rez $\alpha$ nemá najväčší prvok. Ak $a \in \alpha$, tak existuje $a' \in \alpha$, pre ktoré je $a < a'$. 

Dedekindov rez si môžeme predstaviť ako rez číselnej osi na dve časti: dolnú a hornú časť.

Dolná časť nemá najväčší prvok.

Definícia 
Množinu všetkých rezov množiny $Q$ označíme symbolom $R$. Prvky patriace do množiny $R$ nazývame reálne čísla.

Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces tvorby sa opiera o podmnožiny $\alpha \subset Q$, ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.

1. Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu $\alpha$ nemôžeme vziať prázdnu množinu ani množinu všetkých racionálnych čísel.
2. Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina $\alpha \subset Q$ bola „slušne“ usporiadaná:
• ak podmnožina $\alpha$ obsahuje racionálne číslo $a$, tak táto podmnožina musí obsahovať aj všetky racionálne čísla menšie od čísla $a$
• ak by sme na číselnej osi zobrazili bod $A$ reprezentujúci racionálne číslo $a \in Q$, tak podmnožina $\alpha$ musí obsahovať polpriamku smerujúcu doľava od bodu $A$.
3. Štvrtú vlastnosť si môžeme interpretovať ako podmnožinu $\alpha \subset Q$, ktorá zodpovedá sprava otvorenému intervalu $(- \infty, \alpha)$.
4. Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla
• príkladmi iracionálnych čísel sú druhé odmocniny z prvočísel, číslo $\pi$ alebo prirodzený základ logaritmov $e$. 

Vlastnosti rezov

1. Dedekindove rezy, ktorých horná časť má najmenší prvok predstavujú racionálne číslo.
2. Nech $r \in Q$ je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo, potom podmnožina $r^ \ast = \lbrace{ x\in Q; x < r} \rbrace$ je rezom. Dokážte to.
3. Podmnožina $r^ \ast$ reprezentuje racionálne číslo $r$ 
• množina $0^ \ast$ je tiež Dedekindov rez, ktorý (ako neskôr ukážeme) má vlastnosť neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie.
• ukážte, že zobrazenie $\ast : Q \rightarrow R$ je injektívne.
  
4. V bode 2. zameňte výrokovú formu $x < r$ za $x^2 < 2$. Dostanete rez $\rho = \lbrace{ x\in Q; x^2 < 2} \rbrace$, ktorý reprezentuje iracionálne číslo $\sqrt {2}$. 

__________________________________________________________________________________________
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.