Predchádzajúci

Celé čísla

Úloha 3

Čísla a_1,a_2,a_3,a_4 majú vlastnosť, že prvé tri sú po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti s diferenciou d=2 a posledné tri sú po sebe idúce členy geometrickej postupnosti. Určte tieto čísla, ak platí a_4=9 .
  1. AP: a_2=a_1+2, a_3=a_1+4  
  2. GP: a_3=a_2.q, a_4=a_2.q^2=9
  3. Po dosadení dostaneme sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych
             a_3 : \; \; a_1+4=(a_1+2).q .
             a_4 : \; \; 9=(a_1+2).q^2
  4. Z prvej rovnice vyjadríme q= \frac{a_1+4}{a_1+2}  . Dosadením do druhej rovnice dostaneme rovnicu
              9=(a_1+2) (\frac{a_1+4}{a_1+2})^2 .
  5. Po úprave dostaneme
              9(a_1+2)=(a_1+4)^2 .
  6. To je kvadratická rovnica, ktorej riešením sú čísla a_1=-1 \Rightarrow q=3 a a_1=2 \Rightarrow q= \frac{3}{2} . 
  7. Hľadané čísla sú pre
              q=3: \; \;a_1=-1,a_2=1,a_3=3,a_4=9
    pre
              q= \frac{3}{2} : \; \;a_1=2,a_2=4,a_3=6,a_4=9 .
\( .\)
  
Predchádzajúci