RŠM - riešenia úloh

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie
Kniha:	RŠM - riešenia úloh

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	sobota, 11 mája 2024, 12:08

Obsah

Úvodné cvičenie
Prirodzené čísla
- Úloha 1
- Úlohy 2 a 3
Celé čísla
- Úloha 1
- Úloha 3

Úvodné cvičenie

Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla $n \geq1$ platí: $1^3+2^3+...+n^3= \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2$
Preveďte číslo (268)₉ do dvanásťkovej číselnej sústavy.
Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny: 8*06 – 78*8 = **8* .
Nájdite v desiatkovej číselnej sústave také trojciferné číslo $LIK$ , aby platilo $(LIK)^2=BUBLIK$ . Písmená $L,I,K, B, U$ predstavujú cifry čísel.

$$ .$ $

Úloha 1

Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla

$n \geq1$ platí:

$1^3+2^3+...+n^3= \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2$

Nech

$n=1$ , potom ľavá strana je rovná 1 a pravá je rovná

$\frac{1}{4} 1^3 .2^2=1$ .
Predpokladajme, že rovnosť

$1^3 + 2^3 + ... + k^3= \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2$
platí pre

$\forall k < n$ .
Ukážeme, že platí aj pre

$(k+1) \in N$ . Počítajme

$1^3 + 2^3 + ... + k^3+(k+1)^3= \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2 +(k+1)^3=$

$=(k+1)^2(\frac{1}{4} k^2+ (k + 1) ] = \frac{1}{4}(k+1)^2(k^2+4k+4)=\frac{1}{4}(k+1)^2[(k+1)+1]^2$
Teda pre všetky prirodzené čísla platí rovnosť

$1^3 + 2^3 + ... + k^3= \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2$ .

$$ .$ $

Úloha 2 a 3

Preveďte číslo (268)₉ do dvanásťkovej číselnej sústavy.

Pozri súbor Excel Tu

Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny: 8*06 – 78*8 = **8*

Postupujeme sprava
platí, že posledná cifra na pravej strane rovnosti sa musí rovnať 8 lebo (16-8=8)
po dosadení máme: 8*06 - 78*8 = **88
tretia cifra v druhom čísle musí byť rovná 1 lebo (10-(1+1) = 8)
po dosadení: 8*06 - 7818 = **88 zistíme, že druhá cifra v čísle na pravej strane je rovná 0 lebo (9-(8+1) = 0)
podobnými úvahami prídeme k záveru: 8906 - 7818 = 1088

$$ .$ $

Úloha 4

Nájdite v desiatkovej číselnej sústave také trojciferné číslo

$LIK$ , aby platilo:

$(LIK)^2=BUBLIK$ . Písmená

$L,I,K, B, U$ sú cifry čísel.

Označte si

$LIK$ symbolom

$x$ , potom dostanete kvadratickú rovnicu

$x(x-1)= 125.8(101B+10U)$
odkiaľ vplýva, že číslo

$x$ musí byť deliteľné 125.
Nakoniec experimentálne skúšame (postupne dosadzujeme)

$x-1 = 125, 250, ...$ ...

$$ .$ $

Prirodzené čísla

Súčet $2+4+...+2n$ zapíšte pomocou sumačnej symboliky, nájdite vzorec (formulu) pre jeho výpočet a pomocou neho vypočítajte 50+52+...+200.
V dvojcifernom čísle je jedna číslica väčšia do druhej o 1. Súčet druhých mocnín tohto čísla a čísla napísaného tými istými číslicami v obrátenom poradí je 1 553. Určte takéto dvojciferné číslo.
Pomocou peanových axióm spočítajte:
$5 + 2 = ...$ $2 + 4 = ...$
$3 × 5 = ...$ $5 × 3 = ...$

$$ .$ $

Úloha 1

Súčet

$2+4+...+2n$ zapíšte pomocou sumačnej symboliky, nájdite vzorec (formulu) pre jeho výpočet a pomocou neho vypočítajte 50+52+...+200.

Zápis

$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2+4+...+2n$
máme aritmetickú postupnosť, ktorej súčet prvých

$k$ členov vypočítame pomocou vzorca

$\frac{k}{2} (a_1+a_n)$ , kde

$a_1=2,a_k=2n$
po dosadení týchto hodnôt

$a_1=2,a_k=2n$ dostaneme

$\frac{n}{2} (2+2n)=n(n+1)$ .
Vypočítať 50 + 52 +...+ 200 znamená najprv sčítať všetky párne čísla 2 + 4 +...+ 200 a potom odpočítať súčet 2 + 4 +...+ 48.
Súčet všetkých párnych čísel bude rovný

$S=\frac{100}{2} (2+200)=10 100$
a súčet párnych čísel menších ako 50 je rovný

$S=\frac{24}{2} (2+48)=600$ .
Rozdiel je rovný 9 500.

$$ .$ $

Úlohy 2 a 3

V dvojcifernom čísle je jedna číslica väčšia do druhej o 1. Súčet druhých mocnín tohto čísla a čísla napísaného tými istými číslicami v obrátenom poradí je 1 553. Určte takéto dvojciferné číslo.
Pomocou peanových axióm spočítajte:
$5 + 2 = ...$ $2 + 4 = ...$
$3 × 5 = ...$ $5 × 3 = ...$

Nech hľadané číslo $x$ má cifry $a,b$ .
To znamená, že skrátený zápis v desiatkovej číselnej sústave má tvar
$x = ab$
rozvinutý zápis v desiatkovej číselnej sústave má tvar
$x=10a+b$ .
Číslo $y$ napísané tými istými číslicami v obrátenom poradí má rozvinutý tvar
$y=10b+a$ .
Podľa zadania musí platiť   $b=a+1$ a zároveň $x^2+y^2=1553$ .
Po dosadení dostaneme rovnicu
   $[10a+(a+1)]^2+[10(a+1)+a]^2=1553$ resp. $[121a^2+22a+1)]+[121a^2+220a+100]=1553$
Po úprave dostaneme kvadratickú rovnicu
$a^2+a-6=0$ ,
ktorej riešením sú čísla -3, 2. Vyhovuje len kladná (cifra) $a=2$ .
Hľadané číslo je 23.
Počítajme 5 + 2 = (5 + 1') = (5 + 1)'= (5 + 0')' = (5 + 0)'' = 5''= 6' = 7 . Počítajme 5 x 3 = (5 x 2') = 5 x 2 + 5 =... = 10 + 5=15

$$ .$ $

Celé čísla

Spočítajte a zdôvodnite v obore celých čísel:

$(-2) \oplus 3$ $(-2) \oplus (-3)$

$(-2) \otimes 3$ ( $(-2 ) \otimes (-3)$ \).

V množine celých čísel riešte rovnicu riešte nerovnicu $x^2-4x-5$
Čísla $a_1,a_2,a_3,a_4$ majú vlastnosť, že prvé tri sú po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti s diferenciou $d=2$ a posledné tri sú po sebe idúce členy geometrickej postupnosti. Určte tieto čísla, ak platí $a_4=9$ . Bušek. I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky. Praha 1999.