RŠM - riešenia úloh: Úlohy 2 a 3 | VirtualUMB

RŠM - riešenia úloh

Prirodzené čísla

Úlohy 2 a 3

V dvojcifernom čísle je jedna číslica väčšia do druhej o 1. Súčet druhých mocnín tohto čísla a čísla napísaného tými istými číslicami v obrátenom poradí je 1 553. Určte takéto dvojciferné číslo.
Pomocou peanových axióm spočítajte:
$5 + 2 = ...$ $2 + 4 = ...$
$3 × 5 = ...$ $5 × 3 = ...$

Nech hľadané číslo $x$ má cifry $a,b$ .
To znamená, že skrátený zápis v desiatkovej číselnej sústave má tvar
$x = ab$
rozvinutý zápis v desiatkovej číselnej sústave má tvar
$x=10a+b$ .
Číslo $y$ napísané tými istými číslicami v obrátenom poradí má rozvinutý tvar
$y=10b+a$ .
Podľa zadania musí platiť   $b=a+1$ a zároveň $x^2+y^2=1553$ .
Po dosadení dostaneme rovnicu
   $[10a+(a+1)]^2+[10(a+1)+a]^2=1553$ resp. $[121a^2+22a+1)]+[121a^2+220a+100]=1553$
Po úprave dostaneme kvadratickú rovnicu
$a^2+a-6=0$ ,
ktorej riešením sú čísla -3, 2. Vyhovuje len kladná (cifra) $a=2$ .
Hľadané číslo je 23.
Počítajme 5 + 2 = (5 + 1') = (5 + 1)'= (5 + 0')' = (5 + 0)'' = 5''= 6' = 7 . Počítajme 5 x 3 = (5 x 2') = 5 x 2 + 5 =... = 10 + 5=15

$<span class="nolink">\( .$ \)