RŠM - riešenia úloh: Úloha 1

RŠM - riešenia úloh

Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre všetky prirodzené čísla

$n \geq1$ platí:

$1^3+2^3+...+n^3= \frac{1}{4} n^2 (n+1)^2$

Nech

$n=1$ , potom ľavá strana je rovná 1 a pravá je rovná

$\frac{1}{4} 1^3 .2^2=1$ .
Predpokladajme, že rovnosť

$1^3 + 2^3 + ... + k^3= \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2$
platí pre

$\forall k < n$ .
Ukážeme, že platí aj pre

$(k+1) \in N$ . Počítajme

$1^3 + 2^3 + ... + k^3+(k+1)^3= \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2 +(k+1)^3=$

$=(k+1)^2(\frac{1}{4} k^2+ (k + 1) ] = \frac{1}{4}(k+1)^2(k^2+4k+4)=\frac{1}{4}(k+1)^2[(k+1)+1]^2$
Teda pre všetky prirodzené čísla platí rovnosť

$1^3 + 2^3 + ... + k^3= \frac{1}{4} k^2 (k+1)^2$ .

$<span class="nolink">$ .$ $