Vybrané kapitoly z aritmetiky a analytickej geometrie

U1: Riešenie

1. $T_{(1,2)} \oplus T_{(4,3)}=T_{(1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 ,2 \cdot 4 )}=T_{(11,8)}= \frac{11}{8}$, 
2. $T_{(-2,3)} \oplus T_{(0,1)}=$ ... , 
3. $T_{(2,3)} \otimes T_{(1,4)}=$ ... , 
4. $T_{(-2,5)} \otimes T_{(3,4)}=$ ... 

U2 a U3: Riešenie.

1. Pre racionálne číslo $r=T_{(p,q)}$ rôzne od nuly $p \neq 0 ,q \neq 0$ platí $T_{(-p,q)} \in Q$. Označme $-r= T_{(-p,q)}$ a počítajme
   $r \oplus (-r) = T_{(p,q)} \oplus T_{(-p,q)} \overset{def}{=} T_{(p+(-p),q)}=T_{(0,q)}=0$
• Nech $a=T_{(r,s)}, b=T_{(u,v)}$ sú racionálne čísla, potom pre súčet racionálnych čísel $-a=T_{(-r,s)},-b=T_{(-u,v)}$ dostaneme
  $(-a) \oplus (-b)=T_{(-r,s)} \oplus T_{(-u,v)} \overset{def}{=} T_{((-r) \cdot v +(-u) \cdot s, s \cdot v)}$
  operácie sčítania a násobenia v oboroch $N, Z$ sú komutatívne, asociatívne a disributívne, preto
  $T_{((-r) \cdot v +(-u) \cdot s, s \cdot v)} = T_{(-(r \cdot v + u \cdot s), s \cdot v )}= -(a \oplus b)$
Pozri model sčitovania zlomkov Tu
2. Zrejme existuje racionálne číslo $r^{-1} = T_{(q,p)}$, ktoré spĺňa podmienku $r \times r^{-1} =1$. Počítajme
   $r \times r^{-1} = T_{(p,q)} \times T_{(q,p)} \overset{def}{=} T_{(p.q,q.p)}=T_{(1,1)}=1$.
• Nech $a=T_{(r,s)}, b=T_{(u,v)}$ sú racionálne čísla, potom pre súčin racionálnych čísel $a=T_{(r,s)},-b=T_{(-u,v)}$ dostaneme
  $(a) \times (-b)=T_{(r,s)} \times T_{(-u,v)} \overset{def}{=} T_{(-(r.u), s. v)} = -(a \times b)$.
Pozrite si model násobenia zlomkov Tu

Riešenie.
Nech
$\frac{1}{2} \in Z$,
potom existujú prirodzené čísla
$m,n$ a zároveň platí $m-n= \frac{1}{2}$. 
Po úprave dostaneme
$2(m-n)= 1$. 
Na ľavej strane je párne číslo a na pravej nepárne, čo nie je možné. Tým je dôkaz ukončený.

Riešenie.

1. Dokážeme platnosť komutatívneho zákona. Z definície súčtu dvoch tried $T_{(a,b)}, T_{(c,d)}$ v tomto poradí dostávame
   $a)$ $T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)}=T_{(a \cdot d+b \cdot c ,b \cdot d) }$
   a pre súčet v opačnom poradí dostávame
   $b)$ $T_{(c,d)} \oplus T_{(a,b)}=T_{(c \cdot b+a \cdot d ,d \cdot b ) }$
   Keďže komutatívny zákon platí pre súčet aj súčin v obore celých čísel, tak zrejme platí aj rovnosť
   $(a \cdot d+b \cdot c ,b \cdot d)=(c \cdot b+a \cdot d ,d \cdot b )$.
   Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahu $1a)$ je rovná pravej strane vo vzťahu $1b)$. Preto platí komutatívny zákon pre sčítanie. 
2. Dokážeme platnosť asociatívneho zákona. Nech triedy $T_{(a,b)}, T_{(c,d)}, T_{(e,f)}$ reprezentujú tri racionálne čísla, potom z definície súčtu dostávame
   $a)$ $T_{(a,b)} \oplus (T_{(c,d)} \oplus T_{(e,f)}) =T_{(a,b)} \oplus (T_{(c \cdot f+e \cdot d ,d \cdot f) })=T_{(a \cdot d \cdot f+c \cdot b \cdot f+e \cdot b \cdot d , b \cdot d \cdot f) }$
   Analogickými úvahami ako v prípade $1b)$ ukážeme, že
   $b)$ $(T_{(a,b)} \oplus T_{(c,d)}) \oplus T_{(e,f)} =T_{(a \cdot d \cdot f+c \cdot b \cdot f+e \cdot b \cdot d , b \cdot d \cdot f) }$
   Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahu $2a)$ je rovná pravej strane vo vzťahu $2b)$. Preto platí asociatívny zákon.
Tým je dôkaz ukončený.
3. Podobne môžeme postupovať pri dôkaze komutatívnosti a asociatívnosti násobenia racionálnych čísel (DÚ).