Zavedenie číselných oborov N, Z, Q
Racionálne čísla
Riešenie - úloha 1 až 5
U2 a U3
- Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo rôzne od nuly existuje racionálne číslo , pre ktoré platí .
- ukážte, že racionálne číslo reprezentuje trieda rozkladu , ak racionálne číslo reprezentuje trieda ,
- dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla platí: .
- Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo rôzne od nuly existuje racionálne číslo , pre ktoré platí .
U2 a U3: Riešenie.
- Pre racionálne číslo
rôzne od nuly
platí . Označme
a počítajme
- Nech
sú racionálne čísla, potom pre súčet racionálnych čísel
dostaneme
operácie sčítania a násobenia v oboroch sú komutatívne, asociatívne a disributívne, preto
- Zrejme existuje racionálne číslo
, ktoré spĺňa podmienku
. Počítajme
.
Pozrite si model násobenia zlomkov Tu
Riešenie.
Nech
,
potom existujú prirodzené čísla
a zároveň platí .
Po úprave dostaneme
.
Na ľavej strane je párne číslo a na pravej nepárne, čo nie je možné. Tým je dôkaz ukončený.
Nech
,
potom existujú prirodzené čísla
a zároveň platí .
Po úprave dostaneme
.
Na ľavej strane je párne číslo a na pravej nepárne, čo nie je možné. Tým je dôkaz ukončený.
U5: Pomocou tried rozkladu dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla
platí komutatívny a asociatívny zákon pre sčítanie.
Riešenie.
- Dokážeme platnosť komutatívneho zákona. Z definície súčtu dvoch tried
v tomto poradí dostávame
a pre súčet v opačnom poradí dostávame
Keďže komutatívny zákon platí pre súčet aj súčin v obore celých čísel, tak zrejme platí aj rovnosť
.
Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahu je rovná pravej strane vo vzťahu . Preto platí komutatívny zákon pre sčítanie. - Dokážeme platnosť asociatívneho zákona. Nech triedy
reprezentujú tri racionálne čísla, potom z definície súčtu dostávame
Analogickými úvahami ako v prípade ukážeme, že
Odkiaľ vyplýva, že pravá strana vo vzťahu je rovná pravej strane vo vzťahu . Preto platí asociatívny zákon.
Tým je dôkaz ukončený.
- Podobne môžeme postupovať pri dôkaze komutatívnosti a asociatívnosti násobenia racionálnych čísel (DÚ).