Planimetria a stereometria

Bodová konštrukcia a ohniskové vlastnosti elipsy. Okrem všeobecnej definície kužeľosečky sa pre elipsu využíva definícia, ktorá umožňuje jednoduchšiu bodovú konštrukciu elipsy.

Elipsa je množina všetkých bodov v danej rovine$\rho$, ktorých súčet vzdialeností od dvoch rôznych pevných bodov $\small F_1, F_2$ je rovný danému číslu $2a$, ktoré je väčšie ako vzdialenosť bodov $\small F_1, F_2$.

Otvorte si applet Tu

Všeobecné body elipsy
Pre bod M platí: $\small |F_1M| + |F_2M| =2a$. Konštrukciu všeobecných bodov tak možno ľahko vykonať pomocou kružidla¹⁾.

Poznámky.

1. Body $\small F_1, F_2$ nazývame ohniská; $\small A,B$ ... hlavné vrcholy; $\small C,D$ ... vedľajšie vrcholy; $\small S$ ... stred elipsy
2. Pre hlavnú os platí $|AB|=2a>|F_1F_2|>0 \; (a=|SA|$ ... dĺžka hlavnej poloosy)
3. Pre vedľajšiu os platí $a^2=e^2+b^2$, kde $\small b=|SC|$ je dĺžka vedľajšej poloosy a $\small e=|SF_1|$ je excentricita elipsy
4. Priamky \(\small F_1M, F_2M \ ... sprievodiče bodu M.²⁾

Parabola je množina všetkých bodov v danej rovine$\rho$, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od danej priamky $d$ a od daného bodu  $\small F$, ktorý na priamke $d$ neleží.
Bodová konštrukcia Tu

Poznámky.

1. $\small F$ - ohnisko; $d$ - riadiaca priamka; $o$ - os; vzdialenosť $\small d(F,d)$ - parameter paraboly; $v$ ... vrcholová dotyčnica; $\small V$ - vrchol (stred úsečky $\small FD$)
2. $\small M_1,M_2$ - všeobecné body paraboly priamka $\small FM_1$ a rovnobežka s osou bodom $\small M_1$ - sprievodič bodu $\small M_1$; uhol $\omega$ (a uhol k nemu vrcholový) je tzv. vonkajší uhol sprievodičov
3. $\small Q$ - bod súmerne združený s ohniskom $\small F$ podľa dotyčnice $t$; 1 ... stred hyperoskulačnej kružnice vo vrchole $\small V$; platí $\small|1V|=|FD|$

Hyperbola je množinou všetkých bodov v danej rovine$\rho$, pre ktoré je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností od dvoch rôznych pevných bodov  $\small  F_1, F_2$ je rovný danému číslu $2a$, ktoré je menšie ako vzdialenosť bodov $\small F_1, F_2$.

 Otvorte si applet Tu

___________________________________________________________________________
1) Applety ku kužeľosečkám nájdete od autora Martina Vinklera Tu