Perspektívna kolineácia

Rozšírený Euklidovský priestor

Pri riešení niektorých geometrických úloh je výhodné rozšíriť Euklidovský priestor o tzv. nevlastné prvky. V rozšírenom Euklidovskom priestore pre vlastné útvary platia všetky vety a axiómy, ktoré sme uviedli v Hilbertovom axiomatickom systéme. Pre nevlastné prvky je potrebné doplniť o niektoré špecifické tvrdenia projektívnej geometrie.
Nevlastný bod
  1. Nech je daná priamka  q a bod  P , ktorý na nej neleží.
  2. Postupne otáčame priamku  r okolo bodu  P .
  3. Zostrojme priesečníky  Q_1, Q_2, \cdot \cdot \cdot    s priamkou  q .
  4. Pri vhodnom nastavení bude priamka  r rovnobežná s priamkou  q (resp. splynie s priamkou  p ).
  5. V tomto prípade v Euklidovskom priestore  E_3 neexistuje priesečník.
  6. Ako limitný prípad budeme rovnobežky považovať za priamky, ktoré majú spoločný bod v nekonečne.
  7. Tento bod, ktorý nevieme zobraziť v  E_3 , nazveme nevlastný bod a označíme ho  Q_∞ .
Nevlastná priamka
Analogickou úvahou/konštrukciou môžeme uvažovať o priesečnici dvoch rovnobežných rovín. Priesečnicu rovnobežných rovín nazveme nevlastná priamka roviny. Existuje len jedna nevlastná priamka roviny, ktorá zrejme obsahuje všetky nevlastné body tejto roviny.

Nevlastná rovina je množina všetkých nevlastných bodov a nevlastných priamok rozšíreného Euklidovského priestoru. Existuje len jedna. Každý priestor má práve jednu nevlastnú rovinu.
Poznámky.
  1. Zavedenie nevlastných prvkov vyšlo z pojmu rovnobežnosti priamok a rovín.
  2. Nevlastné prvky ale nemajú niektoré vlastnosti, ktoré majú vlastné prvky.
  3. Nie je možné napríklad hovoriť o smere nevlastnej priamky, veľkosti úsečky na nevlastnej priamke a i.
\( .\)