Obraz kružnice v kolineácii, kužeľosečky.

Pri riešení niektorých geometrických úloh je výhodné rozšíriť Euklidovský priestor o tzv. nevlastné prvky. V rozšírenom Euklidovskom priestore pre vlastné útvary platia všetky vety a axiómy, ktoré sme uviedli v Hilbertovom axiomatickom systéme. Pre nevlastné prvky je potrebné doplniť o niektoré špecifické tvrdenia projektívnej geometrie.

Nevlastný bod

1. Nech je daná priamka $q$ a bod $P$, ktorý na nej neleží.
2. Postupne otáčame priamku $r$ okolo bodu $P$.
3. Zostrojme priesečníky $Q_1, Q_2, \cdot \cdot \cdot$ s priamkou $q$.
4. Pri vhodnom nastavení bude priamka $r$ rovnobežná s priamkou $q$ (resp. splynie s priamkou $p$).
5. V tomto prípade v Euklidovskom priestore $E_3$ neexistuje priesečník.
6. Ako limitný prípad budeme rovnobežky považovať za priamky, ktoré majú spoločný bod v nekonečne.
7. Tento bod, ktorý nevieme zobraziť v $E_3$, nazveme nevlastný bod a označíme ho $Q_∞$.

Nevlastná priamka
Analogickou úvahou/konštrukciou môžeme uvažovať o priesečnici dvoch rovnobežných rovín. Priesečnicu rovnobežných rovín nazveme nevlastná priamka roviny. Existuje len jedna nevlastná priamka roviny, ktorá zrejme obsahuje všetky nevlastné body tejto roviny.

Nevlastná rovina je množina všetkých nevlastných bodov a nevlastných priamok rozšíreného Euklidovského priestoru. Existuje len jedna. Každý priestor má práve jednu nevlastnú rovinu.

Poznámky.

1. Zavedenie nevlastných prvkov vyšlo z pojmu rovnobežnosti priamok a rovín.
2. Nevlastné prvky ale nemajú niektoré vlastnosti, ktoré majú vlastné prvky.
3. Nie je možné napríklad hovoriť o smere nevlastnej priamky, veľkosti úsečky na nevlastnej priamke a i.

Tvrdenie
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka: elipsa, parabola alebo hyperbola.
Toto tvrdenie sa ľahko dokáže pomocou metód analytickej geometrie alebo pomocou Quételet-Dandelin vety¹⁾.

Tvrdenie
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka: elipsa, parabola alebo hyperbola.
Toto tvrdenie sa ľahko dokáže pomocou metód analytickej geometrie.

Poznámky.
Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa toho, koľko majú nevlastných bodov.

1. Elipsa má všetky body vlastné. Teda nemá nevlastné body. $\Leftrightarrow$ Kružnica s úbežnicou $u$ nemá spoločný bod.
2. Parabola má jeden nevlastný bod (má jednu vetvu). $\Leftrightarrow$ Kružnica s úbežnicou $u$ má spoločný jeden bod.
3. Hyperbola má dva nevlastní body (dve vetvy), ktoré leží v smere asymptóta.$\Leftrightarrow$ Kružnica s úbežnicou $u$ má dva spoločné body.

Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice $k(O,r)$ v stredovej kolineácii $\mathscr{K}(S, o,u)$, ak kružnica $k$ nemá s úbežnicou $u$ spoločný bod: $k \cap u = ∅$ . Otvorte si zadanie Tu.
Riešenie
Keďže kružnica $k$ nemá s úbežnicou $u$ spoločný bod, tak obrazom bude elipsa.

1. Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej združene priemery¹⁾ $[T_1R_1], [T_2R_2]$.
2. Zvoľme si ľubovoľný úbežník $U_1$ a zostrojme z neho dotyčnice $U_1T_1$, $U_1R_1$ ku kružnici.
3. Zostrojme priesečník/úbežník $U_2 \in \overleftrightarrow{T_1R_1} \cap u$ a opäť dotyčnice $U_2T_2$, $U_2R_2$ ku kružnici
4. Úbežníky $U_1,U_2$ sa zobrazujú do nevlastných bodov, preto obrazy dotyčníc $U_iT_i, U_iR_i$ ($i=1,2$) budú rovnobežné priamky.

Celú konštrukciu si môžete stiahnuť Tu

Z postupu riešenia vyplýva, že tetiva kružnice, ktorá spája dotykové body je priemerom elipsy. Na zostrojenie hlavnej a vedľajšej osi elipsy môžeme použiť napr. Rytzovu konštrukciu.

Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice $k(O,r)$ v stredovej kolineácii $\mathscr{K}(S, o,u)$, ak kružnica $k$ má s úbežnicou $u$ jeden spoločný bod: $k \cap u = U$ a os kolineácie pretína v dvoch bodoch $T, R$.
Riešenie
Keďže kružnica $k$ má s úbežnicou $u$ spoločný práve jeden bod, tak obrazom bude parabola.

1. Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej dve dotyčnice $t, r$ s dotykovými bodmi $T, R$.
2. Pri použití lichobežníkovej metódy nám stačí zostrojiť obrazy dotyčníc $t,r$.
3. Zostrojme priesečník/úbežník $U_t$ a smer $SU_t$ .
4. Obrazom dotyčnice $t$ bude priamka prechádzajúca samodružným bodom $T$, ktorá je rovnobežná so smerom $SU_t$ .

Poznámka. V našej konštrukcii sme použili na "vykreslenie" paraboly nástroj "Množina bodov".

Lichobežníková metóda, pri ktorej zostrojíme priamo vrchol paraboly $V$ a ohnisko $F$ sa opira o vetu¹⁾:

Veta
Spojnica priesečníka dvoch rôznych dotyčníc paraboly so stredom tetivy určenej ich dotykovými bodmi je rovnobežná s osou paraboly.

1. Veďme bodom $R$ kolmicu $k$ k smeru osi paraboly. Smer osi paraboly zostrojíme podľa predchádzajúcej vety.
2. Bodmi $A, B$ veďme rovnobežky s osou, ich priesečníky s kolmicou k označme $C, D$.
3. Vrchol $V$ paraboly zostrojíme ako priesečník priamok $AC, BD$.
4. Os paraboly prechádza vrcholom a je rovnobežná s $RS_{AB}$.

Ku konštrukcii ohniska môžeme využiť napr. vrcholovou dotyčnicu $(V ∈ t_V, t_V ⊥ o)$, na ktorej ležia päty všetkých kolmíc spustených z ohniska na dotyčnice paraboly. Body $A, B, C, D$ (nie nutne v tomto poradí) sú vrcholy lichobežníka (ak nie je spojnica $AB$ kolmá na os paraboly), podľa ktorého dostala táto konštrukcia svoj názov. 

Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice $k(O,r)$ v stredovej kolineácii $\mathscr{K}(S, o,u)$, ak kružnica $k$ má s úbežnicou $u$ dva spoločné body: $k \cap u = {U,V}$ a os kolineácie pretína v dvoch bodoch $X_u, X_v$.
Riešenie
Keďže kružnica $k$ má s úbežnicou $u$ spoločné dva body, tak obrazom bude hyperbola.

1. Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej asymptoty a jej hlavné vrcholy.
2. Zostrojme dotyčnice $a_u, a_v$ v bodoch $U,V$ ku kružnici $k$.
3. Nájdime obrazy $a'_u (a'_u || US), a'_v (a'_v || VS)$. Priamky $a'_u, a'_v$ sú asymptoty hyperboly.
4. Priesečník asymptot $a'_u, a'_v$ (ozn. $Q'$) je stredom hyperboly.
5. Osy hyperboly $o´_1, o´_2$ rozpoľujú uhly asymptot. Hlavnú os $o´_1$ označíme tú, pre ktorú odpovedajúca priamka $o_1$ pretína kružnicu $k$ v dvoch bodoch. Označme ich $A, B$.
6. Bodom $A, B$ odpovedajú body $A', B'$ hyperboly $k'$, ktoré sú jej hlavné vrcholy.

Poznámka. V našej konštrukcii sme použili na "vykreslenie" hyperboly nástroj "Množina bodov".

Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice $\small k(O,r)$ v stredovej kolineácii $\small \mathscr{K}(S, o,u)$, ak kružnica $k$ je v ľubovoľnej polohe k úbežnici $u$. Otvorte si zadanie Tu.
Riešenie
Pri riešení využijeme GeoGebra nástroj "Množina bodov". Pri jeho použití nám bude postačovať obraz jediného avšak ľubovoľného bodu križnice.

1. Zvolíme si ľubovoľný bod $\small L \in k$.
2. Zostrojíme obraz tohto bodu $\small \mathscr{K}(L)=L'$.
3. Aktivujeme nástroj "Množina bodov", potom ukážeme na bod $\small L'$ a následne na bod $\small L$.
4. GeoGebra vykreslí odpovedajúcu kužeľosečku.

Celú konštrukciu si môžete stiahnuť Tu.   Kolineácia v základnej polohe Tu.

...

Kužeľosečky sú krivky, ktoré, ako nám napovedá ich názov, je možné vytvoriť ako rezy rotačnej kužeľovej plochy rovinou. S takýmito krivkami sa stretávame v bežnom živote.

• Predstavte si napríklad hranicu hladiny vody v naklonenom pohári, kde hladina vody predstavuje rovinu rezu.
  
• Pri osvetlení baterkou na stenu a pozorujeme, ako sa osvetlená plocha mení v závislosti na polohe osi baterky vzhľadom na rovinu steny. Ak je os baterky v polohe kolmej k rovine múru, bude hranicu osvetlenej časti tvoriť kružnica, pri naklonení dostávame elipsu, alebo v určitej polohe dostaneme parabolu a ak nakloníme baterku ešte viac bude hranicou osvetlenej časti hyperbola.¹⁾
  

Rezy rovinou na kužeľovej ploche, ktorá vznikne rotáciou dvoch rôznobežných priamok okolo osi ich uhla.
Otvorte si applet Tu

___________________________________________________________________________
1) Obrázky sú prevzaté s práce "Deskriptivní geometrie na MFF UK"

Všeobecná definícia kuželosečky
Kužeľosečka je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu $\small F$ a pevne zvolenej priamky $\small d:F \notin d$ stály pomer vzdialeností rovný konštante $k$. Pre

1. $k < 1$ je to elipsa
2. $k = 1$ je to parabola
3. $k > 1$ dostaneme hyperbolu.

Bod $\small F$ sa nazýva ohnisko kužeľosečky, priamka $d$ riadiaca priamka (direktrix). Číslo $k$ sa nazýva numerická výstrednosť.
Týmto spôsobom môžeme definovať všetky regulárne kužeľosečky okrem kružnice.

Poznámky
Na demonštráciu konštrukcie kužeľosečiek je možné s výhodou využiť sieť kružníc a priamok. Ak zvolíme ohnisko $\small F$ v strede sústavy kružníc a riadiacu priamku sťažíme s ľubovoľnou priamkou (tak, aby $\small F \notin d$), môžeme jednotlivé body kuželosečiek hľadať ako priesečníky kružníc a priamok ktorých polomer a vzdialenosť od riadiacej priamky sú v konštantnom pomere.
 Otvorte si applet Tu

Applet - Tlačidlá Tu

Bodová konštrukcia a ohniskové vlastnosti elipsy. Okrem všeobecnej definície kužeľosečky sa pre elipsu využíva definícia, ktorá umožňuje jednoduchšiu bodovú konštrukciu elipsy.

Elipsa je množina všetkých bodov v danej rovine$\rho$, ktorých súčet vzdialeností od dvoch rôznych pevných bodov $\small F_1, F_2$ je rovný danému číslu $2a$, ktoré je väčšie ako vzdialenosť bodov $\small F_1, F_2$.

Otvorte si applet Tu

Všeobecné body elipsy
Pre bod M platí: $\small |F_1M| + |F_2M| =2a$. Konštrukciu všeobecných bodov tak možno ľahko vykonať pomocou kružidla¹⁾.

Poznámky.

1. Body $\small F_1, F_2$ nazývame ohniská; $\small A,B$ ... hlavné vrcholy; $\small C,D$ ... vedľajšie vrcholy; $\small S$ ... stred elipsy
2. Pre hlavnú os platí $|AB|=2a>|F_1F_2|>0 \; (a=|SA|$ ... dĺžka hlavnej poloosy)
3. Pre vedľajšiu os platí $a^2=e^2+b^2$, kde $\small b=|SC|$ je dĺžka vedľajšej poloosy a $\small e=|SF_1|$ je excentricita elipsy
4. Priamky \(\small F_1M, F_2M \ ... sprievodiče bodu M.²⁾

Parabola je množina všetkých bodov v danej rovine$\rho$, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od danej priamky $d$ a od daného bodu  $\small F$, ktorý na priamke $d$ neleží.
Bodová konštrukcia Tu

Poznámky.

1. $\small F$ - ohnisko; $d$ - riadiaca priamka; $o$ - os; vzdialenosť $\small d(F,d)$ - parameter paraboly; $v$ ... vrcholová dotyčnica; $\small V$ - vrchol (stred úsečky $\small FD$)
2. $\small M_1,M_2$ - všeobecné body paraboly priamka $\small FM_1$ a rovnobežka s osou bodom $\small M_1$ - sprievodič bodu $\small M_1$; uhol $\omega$ (a uhol k nemu vrcholový) je tzv. vonkajší uhol sprievodičov
3. $\small Q$ - bod súmerne združený s ohniskom $\small F$ podľa dotyčnice $t$; 1 ... stred hyperoskulačnej kružnice vo vrchole $\small V$; platí $\small|1V|=|FD|$

Hyperbola je množinou všetkých bodov v danej rovine$\rho$, pre ktoré je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností od dvoch rôznych pevných bodov  $\small  F_1, F_2$ je rovný danému číslu $2a$, ktoré je menšie ako vzdialenosť bodov $\small F_1, F_2$.

 Otvorte si applet Tu

___________________________________________________________________________
1) Applety ku kužeľosečkám nájdete od autora Martina Vinklera Tu