Planimetria a stereometria

Tvrdenie
Obrazom kružnice v stredovej kolineácii je regulárna kužeľosečka: elipsa, parabola alebo hyperbola.
Toto tvrdenie sa ľahko dokáže pomocou metód analytickej geometrie.

Poznámky.
Regulárne kužeľosečky môžeme klasifikovať podľa toho, koľko majú nevlastných bodov.

1. Elipsa má všetky body vlastné. Teda nemá nevlastné body. $\Leftrightarrow$ Kružnica s úbežnicou $u$ nemá spoločný bod.
2. Parabola má jeden nevlastný bod (má jednu vetvu). $\Leftrightarrow$ Kružnica s úbežnicou $u$ má spoločný jeden bod.
3. Hyperbola má dva nevlastní body (dve vetvy), ktoré leží v smere asymptóta.$\Leftrightarrow$ Kružnica s úbežnicou $u$ má dva spoločné body.

Cvičenie.
Zostrojte obraz kružnice $k(O,r)$ v stredovej kolineácii $\mathscr{K}(S, o,u)$, ak kružnica $k$ nemá s úbežnicou $u$ spoločný bod: $k \cap u = ∅$ . Otvorte si zadanie Tu.
Riešenie
Keďže kružnica $k$ nemá s úbežnicou $u$ spoločný bod, tak obrazom bude elipsa.

1. Na jej zostrojenie nám stačí, ak poznáme jej združene priemery¹⁾ $[T_1R_1], [T_2R_2]$.
2. Zvoľme si ľubovoľný úbežník $U_1$ a zostrojme z neho dotyčnice $U_1T_1$, $U_1R_1$ ku kružnici.
3. Zostrojme priesečník/úbežník $U_2 \in \overleftrightarrow{T_1R_1} \cap u$ a opäť dotyčnice $U_2T_2$, $U_2R_2$ ku kružnici
4. Úbežníky $U_1,U_2$ sa zobrazujú do nevlastných bodov, preto obrazy dotyčníc $U_iT_i, U_iR_i$ ($i=1,2$) budú rovnobežné priamky.

Celú konštrukciu si môžete stiahnuť Tu

Z postupu riešenia vyplýva, že tetiva kružnice, ktorá spája dotykové body je priemerom elipsy. Na zostrojenie hlavnej a vedľajšej osi elipsy môžeme použiť napr. Rytzovu konštrukciu.