Polohové stereometrické úlohy - priečky: Prienik priamky s telesom

Prienik priamky s telesom

Prienik priamky $p$ s telesom $T$ zostrojíme podobne, ako prienik priamky s rovinou.
1. Danou priamkou

$p$ preložíme vhodnú pomocnú rovinu

$\sigma$ .
2. Urobíme rez telesa

$T$ touto rovinou.
3. Prienik rezu – mnohouholníka s priamkou

$p$ je hľadaný prienik priamky s telesom.

Do kocky

$ABCDEFGH$ je vložený štvorboký ihlan

$ABCDV$ , kde bod

$V$ je stred hornej podstavy. Na polpriamke

$DA$ za bodom

$A$ leží bod

$K$ ; na polpriamke

$FG$ za bodom

$G$ leží bod

$M$ . Zostrojte prienik (úsečku

$PQ$ ) priamky

$KM$ s ihlanom

$ABCDV$ . Určte jej skutočnú dĺžku, ak

$|AB| =1$ .

Komentár k riešeniu

Priamku

$KM$ umiestnime do pomocnej roviny

$\sigma=VKM$ . Rovinu určíme priamkou

$VM$ a rovnobežkou

$r$ , pričom platí:

$r∥VM, K∈r$ .

Rezom ihlana

$ABCDV$ rovinou

$VKM$ je trojuholník

$UWV$ , kde

${U} = r ∩ AB, {W} = r ∩ BC$ .

Prienik priamky

$KL$ so stranami

$UV, VW$ sú hľadané priesečníky

$P, Q$ .

Ku konštrukcii skutočnej dĺžky

$PQ$ musíme zostrojiť najskôr štvorec

$ABCD$ a potom prenášať úsečky s odpovedajúcimi rozmermi. V tomto prípade je urobená konštrukcia len pre prípad ak bod

$W$ je bodom úsečky

$BC$ .

Učiteľ

Musí mať na zreteli, že úlohy tohto typu sú pomerne náročné aj pre stredoškolákov. Preto je vhodné na SŠ zadávať presné údaje v zadaní. Napr. v tejto úlohe by sme dodali, že bod

$K$ je vzdialený od bodu

$A$ o polovicu veľkosti strany štvorca, podobne aj bod

$M$ . V takom prípade sa rovina rezu rovina prechádza stredom hornej podstavy a rovnobežka

$r$ prechádza stredom dolnej podstavy, čo významnou mierou uľahčuje zostrojenie rezu.

Pri konštrukciách typu "zostrojte skutočnú veľkosť" učiteľ by mal pripomenúť študentom, že aj vo VRP sa zachováva podielový pomer. Niekedy stačí pripomenúť, že stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky. Dobré je tiež pripomenúť aj konštrukciu delenia úsečky na rovnaké časti pomocou rovnobežiek.

$<span class="nolink">$ .$ $