Vytlačiť celú knihuVytlačiť celú knihu

Polohové stereometrické úlohy - priečky

Portál: Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz: Planimetria a stereometria
Kniha: Polohové stereometrické úlohy - priečky
Vytlačil(a): Hosťovský používateľ
Dátum: sobota, 27 apríla 2024, 04:59

Opis

PSU

Obsah

Základné typy úloh

Ďalšie polohové konštrukčné úlohy sú:
  1. priesečník priamky s rovinou
  2. prienik priamky s telesom
  3. priečka, resp. os, dvoch mimobežiek
Priesečník priamky p (rôznobežnej) s rovinou \alpha sa konštrukčne rieši týmto spôsobom
     1. priamkou p preložíme pomocnú rovinu \beta , ktorá je s rovinou \alpha rôznobežná
     2. určíme priesečnicu r rovín \alpha, \beta
     3. priesečník P priamok p, r je hľadaným bodom
Komentár k riešeniu
  • Priamku BH umiestnime do vhodnej pomocnej roviny \beta , ktorú ľahko vieme zostrojiť (napr. rovnobežnú s hranou kocky).
  • V tomto príklade je to rovina \beta=BDHF . Rovina \beta sa nazýva premietajúca.
  • Priesečnica rovín \beta ∩ \alpha  je určená bodmi K, R , pričom priamka AR je rovnobežná s priamkou KL
  • Priesečnica RK leží v tej istej rovine ako priamka BH , preto existuje ich spoločný priesečník P .
    • Učiteľ zdôrazňuje:   
  • Rezom premietajúcej roviny s hranolom musí byť rovnobežník. →
  • Pri ihlane volíme "vrcholovú rovinu", rovinu určenú priamkou a vrcholom ihlana. Rezom vrcholovej roviny je najčastejšie trojuholník.
    • \( .\)
    \( .\)

    Prienik priamky s telesom

    Prienik priamky  p s telesom T zostrojíme podobne, ako prienik priamky s rovinou.
         1. Danou priamkou p preložíme vhodnú pomocnú rovinu \sigma .
         2. Urobíme rez telesa T touto rovinou.
         3. Prienik rezu – mnohouholníka s priamkou p je hľadaný prienik priamky s telesom.
    Do kocky ABCDEFGH je vložený štvorboký ihlan ABCDV, kde bod V je stred hornej podstavy. Na polpriamke DA za bodom A leží bod K; na polpriamke FG za bodom G leží bod M. Zostrojte prienik (úsečku PQ) priamky KM s ihlanom ABCDV. Určte jej skutočnú dĺžku, ak |AB| =1.
    Komentár k riešeniu
  • Priamku KM umiestnime do pomocnej roviny \sigma=VKM. Rovinu určíme priamkou VM a rovnobežkou r, pričom platí:  r∥VM, K∈r.
  • Rezom ihlana ABCDV rovinou VKM je trojuholník UWV, kde {U} = r ∩ AB, {W} = r ∩ BC.
  • Prienik priamky KL so stranami UV, VW sú hľadané priesečníky P, Q.
  • Ku konštrukcii skutočnej dĺžky PQ musíme zostrojiť najskôr štvorec ABCD a potom prenášať úsečky s odpovedajúcimi rozmermi. V tomto prípade je urobená konštrukcia len pre prípad ak bod W je bodom úsečky BC.
    • Učiteľ
  • Musí mať na zreteli, že úlohy tohto typu sú pomerne náročné aj pre stredoškolákov. Preto je vhodné na SŠ zadávať presné údaje v zadaní. Napr. v tejto úlohe by sme dodali, že bod K je vzdialený od bodu A o polovicu veľkosti strany štvorca, podobne aj bod M. V takom prípade sa rovina rezu rovina prechádza stredom hornej podstavy a rovnobežka r prechádza stredom dolnej podstavy, čo významnou mierou uľahčuje zostrojenie rezu.
  • Pri konštrukciách typu "zostrojte skutočnú veľkosť" učiteľ by mal pripomenúť študentom, že aj vo VRP sa zachováva podielový pomer. Niekedy stačí pripomenúť, že stred úsečky sa zobrazí do stredu úsečky. Dobré je tiež pripomenúť aj konštrukciu delenia úsečky na rovnaké časti pomocou rovnobežiek.
    • \( .\)

    Priečka dvoch mimobežiek

    Priečka dvoch mimobežiek p, q je priamka, ktorá pretína obe dané priamky p, q . Priečka je aj úsečka s krajnými bodmi ležiacimi na priamkach p, q .
    Dve mimobežky majú nekonečne veľa priečok. Existuje jedna priečka, ktorá je súčasne kolmá na obe priamky p, q . Hovoríme jej os mimobežiek.
    Rozlišujeme tieto základné kategórie úloh 
    1. zostrojiť priečku dvoch mimobežiek p, q prechádzajúcu daným bodom P
    2. zostrojiť priečku dvoch mimobežiek p, q rovnobežnú s danou priamkou r
    3. zostrojiť os dvoch mimobežiek p, q . 
    Prvé dve kategórie sú polohové stereometrické úlohy a tretia kategória predstavuje metrické stereometrické úlohy. 
    Medzi metrické úlohy zaraďujeme
    1. Odchýlka dvoch priamok, dvoch rovín resp. priamky a roviny
    2. Kolmosť priamok a rovín
    3. Objemy a povrchy telies  
    \( .\)

    Priečka idúca bodom

    Úloha prvého typu
    Zostrojte priečku mimobežiek AB, EC prechádzajúcu bodom P.

    Polohu bodu P spresňuje jeho kolmý priemet P_0 do dolnej podstavy kocky ABCDEFGH.
    Komentár k appletu
    Myšlienka riešenia je založená na tom, že daným bodom P a priamkou q položíme rovinu, ktorá pretne druhú danú priamku p v bode, ktorý je bodom hľadanej priečky.
    V tejto úlohe sme daným bodom P položili rovinu  α = (P, q)=(CKE) . 
    • Priesečník L roviny α  je bodom priečky mimobežiek.
    • Postup riešenia aktivujte pomocou navigačného panelu.
    \( .\)

    Priečka rovnobežná so smerom

    Úloha druhého typu
    Zostrojte priečku MN priamok AF, BG rovnobežnú so smerom v=EC.
    Komentár k appletu
    Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu prechádzajúcu jednou z daných mimobežiek, ktorá bude rovnobežná so smerom v.
    V tejto úlohe sme zostrojili pomocnú rovinu α = (A,F,1) , kde F1∥EC
    • Pomocná rovina pretne druhú danú mimobežku BG v bode M hľadanej priečky.
    • Úsečka MN rovnobežná so smerom EC je priečka mimobežiek.
    • Nie vždy existuje priečka dvoch mimobežiek rovnobežná s daným smerom.
    \( .\)

    Os mimobežiek

    Úloha tretieho typu
    Daný je kváder ABCDEFGH, bod Q je stred hrany EF. Zostrojte os mimobežiek AB, CQ  
     
    Komentár k appletu    
    Myšlienka riešenia je založená na tom, že zostrojíme pomocnú rovinu EFC , ktorá bude rovnobežná s mimobežkou AB .
    • Na rovinu EFC zostrojíme kolmicu B1 idúcu bodom B . 
    • Roviny EFC, AB1 majú spoločnú priamku 12 , na ktorej leží jeden z bodov osi mimobežiek.
    • Priečka 34 je rovnobežná s B1 , ktorá je zrejme kolmá na obidve mimobežky.

    \( .\)

    Cvičenie

         
        Kváder vo VRP Tu.
    Priesečník priamky s rovinou
    1. ♥ Daná je kocka A-H. Zostrojte priesečník priamky p = DF s rovinou \rho = BEG. Zadanie Tu Riešenie Tu
    2. Daný je trojboký hranol ABCA'B'C', rovina \alpha = MNP (M, N, P sú v danom poradí vnútorné body hrán AA', BB', CC') a bod L, ktorý je vnútorným bodom trojuholníka A'B'C'.
      Zostrojte priesečník priamky CL s rovinou \alpha. Zvoľte si (AA'M) ≠ (BB'N) ≠ (CC'P) ≠ (AA'M). Riešenie →
    3. Je daná kocka A-H, rozhodnite o vzájomnej polohe roviny a priamky, v prípade rôznobežnosti nájdite priesečník.
      • BH, ACE →
      • EC, ABH
      • FH, BDH
      • EC, ABH
    Prienik priamky s telesom
    1. Zostrojte priesečníky priamky a s pravidelným šesťbokým hranolom ABCDEA'B'C'D'E', ktorého výška je zhodná s hlavnou uhlopriečkou podstavy.
      [a = MN, (SMC)=-1, S je stred dolnej podstavy, (E'NF') = -1]. →
    2. Zbierka úloh zo stereometrie → str. 3, úloha 35
    3. ♥  Je daná kocka ABCDEFGH. Zostrojte priesečníky priamky PQ s kockou. Bod P leží na AB za bodom B. Bod Q leží na GH za bodom H. Zadanie →
    Priečka dvoch mimobežiek;
    1. Výberové úlohy (môžete získať za každé správne riešenie plusový bod). Daná je kocka \small ABCDEFGH . Zostrojte priečku
      a) priamok \small AH, CR, kde  \small R \in EF prechádzajúcu bodom \small M: (CDM )= 2/5,
      b) priamok \small PQ, DH prechádzajúcu bodom \small B, ak pre body \small P,Q platí:\small  ( AHP)=- 1 , (GHQ)=2. 
    2. Nevýberové úlohy. Daný je rovnobežnosten ABCDEFGH. Zostrojte:
      • priečku priamok BH, FG prechádzajúcu bodom A Zadanie →                              . 
      • priečku priamok AB , FH rovnobežnú s priamkou AG →
    3. Nevýberové úlohy. Je daná kocka ABCDEFGH. Zostrojte priečku mimobežiek AE, BG rovnobežnú so smerom SM, kde S je stred kocky a M leží na AB  za bodom B. Zadanie →
    4. Nevýberové úlohy. Nech K je stred hrany GH a bod L stred hrany BF kocky ABCDEFGH. Zostrojte os mimobežiek EK, LC. Zadanie.   .
    5. Nevýberové úlohy. Nech K \in EF;L \in GH;P \in BF;Q \in CG sú body na hranách kocky ABCDEFGH . Zostrojte os mimobežiek KL, PQ. Zadanie.
    Metrické úlohy 
    1. V kocke ABCDEFGH je bod K stredom hrany DH. Bodom A zostrojte rovinu kolmú na priamku FK a určte vzdialenosť bodu A od priamky A-HFK.
    2. Je daná kocka A-H s hranou a = 4cm. Vypočítajte vzdialenosti:
      • dvoch bodov v(A, S_{GH}) v(S_{AF}, S_{BG} )
      • bodu a priamky v(H ↔AS_{CG} ) v(A ↔FH )
      • bodu a roviny v(E ↔S_{EH} S_{EF} S_{AB} ). 
    Zdroj Polák, J.: Didaktika matematiky.  Str. 327. \S_{XY} \) značí stred úsečky \XY\).
    \( .\)