Dynamický geometrický systém (DGS): Nový nástroj

Nový nástroj

Program GeoGebra má k dispozícii pomerne veľa nástrojov na narysovanie základných geometrických útvarov tak v rovine ako aj 3D priestore. Niekedy pri konštrukciách, ktoré sú úzko tematicky zamerané, sa vyskytne potreba vytvoriť nový nástroj.

Napríklad euklidovská konštrukcia na zostrojenie dvoch navzájom kolmých kružníc je východisková konštrukcia aj pre hyperbolickú neeuklidovskú geometriu. Preto by bolo výhodné mať k dispozícii nástroj v GeoGebre, ktorý vytvorí/vykreslí takúto kružnicu.

Otvorte si applet Tu

Úloha
Zostrojte kružnicu

$k$ , ktorá je kolmá na kružnicu

$\omega$ a zároveň prechádza dvoma rôznymi bodmi

$\small A, B \in int( \omega)$ .

Definícia
Budeme hovoriť, že kružnice

$\small \omega (O,r),\;k(O',r')$ sú navzájom kolmé (ortogonálne), ak platí

$\small (O'=t_p\cap t_q) \wedge (O=t'_p \cap t'_q)$
zostrojené v ich priesečníkoch

$P,Q=k\cap \omega$ sú tiež navzájom kolmé.

Korektnosť definície vyplýva z konštrukcie znázornenej na obrázku.
» Polomer

$\small OP$ kružnice

$\omega$ a jej dotyčnica

$t_p$ sú na seba kolmé.
» Trojuholník

$\small OO’P$ resp. trojuholník

$\small OO’Q$ je pravouhlý.

Rozbor úlohy
Musíme rozlíšiť tri samostatné prípady

Ak sú body $\small A,B,O$ kolineárne, tak reálne neexistuje kružnica $\small k(O',r')$ prechádzajúca cez $\small A,B$ . Stred takejto kružnice je nevlastný bod. Priamku $\small AB$ budeme považovať za jedno z riešení našej úlohy. Má to zmysel práve pri neeuklidovskej geometrii.

Body $\small A,B,O$ sú nekolineárne a napríklad $\small A \notin \omega$ . V tomto prípade budeme postupovať tak, že postupne zostrojíme:
→ Bod $\small A'\in OA$ tak, aby $\small (T \in \omega ) \wedge (AT \perp OA );(OT \perp TA' )$ .
→ Kružnicu k, ktorá prechádza bodmi $\small A,A',B$ .
Z mocnosti bodu $\small O$ ku kružnici $k$ vyplýva, že $\small |OA| \times |OA'|=|OQ|^2=1$ .

Posledná rovnosť hovorí, že kružnice $k,\omega$ sú ortogonálne.

Obidva body $\small A,B$ ležia na kružnici $\omega$ . V takom prípade stačí zostrojiť priesečník $\small O'$ dotyčníc ku kružnici $\omega$ v bodoch $\small A,B$ . Priesečník $\small O'$ je stred hľadanej kružnice $k$ .

Riešenie
Pre každý prípad 1, 2, 3 vytvoríme samostatnú konštrukciu kružnice

$k$ , ktoré si vhodne nazveme pre prípad:
1. použijeme názov „Diameter“
2. použijeme názov „Oblúk“
3. použijeme názov „Ideál“
Po vytvorení takýchto troch samostatných konštrukcií kružníc potom vytvoríme rozhodovací blok, v ktorom na základe polohy bodov

$\small A,B$ vzhľadom ku kružnici

$\omega$ vyberieme odpovedajúcu kružnicu

$k$ - Diameter, Oblúk, Ideál.

Diameter – príkazy v GeoGebre.
P1: Priesečník(Kružnica((0, 0), 1), Priamka(A, B), 1)
P2: Priesečník(Kružnica((0, 0), 1), Priamka(A, B), 2)
o: OsÚsečky(P1, P2)
c1: Kružnica((0, 0), 1000)
O1: Priesečník(c1, o, 1)
Diameter: Kružnica(O1, 1000)

Oblúk – príkazy v GeoGebre.
A‘: Súmernosť(A, Kružnica((0, 0), 1))
B‘: Súmernosť(B, Kružnica((0, 0), 2))
Oblúk: Ak(Dĺžka(A) ≟ 1, Kružnica(A, B, B'), Kružnica(A, B, A'))

Ideál – príkazy v GeoGebre.
p1: Kolmica(A, Priamka((0, 0), A))
p2: Kolmica(B, Priamka((0, 0), B))
O3: Priesečník(p1, p2)
Ideál: Kružnica(O3, A)

Všetky tri konštrukcie „Diameter“, „Oblúk“ a „Ideál“ spojíme do jednej konštrukcie s názvom „Kolmá Kružnica“. Výsledok vidíme na obrázku.

Applet si stiahnete Tu.
Postup na vytvorenie nástroja

Spustite program GeoGebra a otvorte si súbor "Kolmá Kružnica".
V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja:
- ako výstupné objekty vyberte kružnicu $k$ (otvorte si aj algebraické okno)
- ako vstupné objekty vyberte body: $\small A,B$
- vhodne pomenujte nástroj, napr. "Kolmá kružnica", vyberte predtým vytvorený obrázok pre ikonu
- v nápovedi uveďte napr. "Ukáž dva body
- zaškrtnite políčko "Ukázať na palete nástrojov" (nie je nutné).
Uložte si tento súbor napr. s názvom "Kolmá kružnica". Kompletnú konštrukciu si stiahnite Tu.

Poznámka

V neeuklidovskej hyperbolickej geometrii v modeli Poincarè Disc riešenie tejto úlohy predstavuje východisko pri zostrojení hyperbolickej priamky určenej bodmi $\small A,B$ . Pozrite si ďalšiu kapitolu.

$<span class="nolink">$ .$ $