Dynamický geometrický systém (DGS)

Dynamický matematický program GeoGebra, ktorý spája geometriu, algebru, analýzu, štatistiku a kalkulátor do jedného celku.

Názov GeoGebra vznikol spojením Geometria – Algebra, z čoho vyplýva aj charakter tohto softvéru.
Program je vhodný na rysovanie základných geometrických útvarov aj na algebraické výpočty. Autorom programu je Markus Hohenwarter ¹⁾.
Program je voľne šíriteľný. Stiahnite si program GeoGebra Klasik 5 zo stránky https://www.geogebra.org/download ²⁾.

Cvičenie.
Otvorte si pracovný hárok a zostrojte niektoré základné geometrické útvary: body, priamky, ...

1) V súčasnosti je profesorom na Univerzite v Linzi
2) Pozrite si stránku "Návody k aplikaci GeoGebra Classic" resp. Manuál

Po spustení programu GeoGebra Classik 5 sa zobrazia

• v hornej časti pracovnej plochy hlavné menu a lišta s nástrojmi;
• vľavo - Algebraické okno, vpravo - Nákresňa a dole - Vstup/vstupné pole resp. príkazový riadok;
• východiskové nastavenie je možné upraviť pomocou menu Vzhľad
• nastavte farbu, štýl a popis bodu, ... a potom si uložte prázdny prednastavený výkres.

Príklad. Zostrojte trojuholník $ABC$, ak poznáte dĺžky strán $a=BC, b=AC, c=AB$.

.

Komentár k riešeniu

1. Otvorte si prednastavený pracovný výkres Tu .
2. Pomocou menu Vzhľad si aktivujte aj Postup konštrukcie
• v časti Nákresňa budeme rysovať
• v Geometrickom okne 2 budeme zapisovať komentár k riešeniu
• v okne Postup konštrukcie program automaticky zapisuje kroky konštrukcie.
3. Riešenie zahŕňa nasledujúce kroky:
• vytvorenie posuvníkov $a,b,c$
• zostrojenie bodu $A$ a úsečky s danou dĺžkou $c$
• zostrojenie kružníc $k_1=(A, b), k_2=(B,a)$ a ich priesečníka C
• zapisovanie komentárov pomocou nástroja .
4. Nastavte posuvníky $a,b,c$ tak, aby úloha mala 2, 1 riešenia resp. nemala riešenie.
5. Konštrukciu si môžete stiahnuť pomocou príkazu "Export" (kliknite na ≡ vpravo hore), zvoľte GeoGebra file a Uložiť. Súbor sa uloží do priečinka Stiahnuté súbory.

Poznámky.

1. V prípade, že potrebujete zobraziť len oblúčiky pri priesečníkoch dvoch kružníc (resp. kružnice a priamky; dvoch priamok) stačí aktivovať "Vlastnosti" pre daný priesečník a začiarknuť políčko "Zobraziť upravené priesečníky priamok". Tento postup sa dá použiť aj pre priesečník dvoch priamok. 
2. Konštrukcia uvedená pre prípad $AB=BC=AC$( otvorte Tu) je prvým tvrdením v Euklidových Základoch ($\sigma \tau o \iota \chi \epsilon \iota \alpha$).
3. Ide vlastne o prvý matematický dôkaz aj z pohľadu historického. Pred Euklidom existovali tvrdenia ale bez dôkazu, pozrite si napríklad tvrdenia od Thálesa Tu.
4. Je prekvapujúce, že taký krátky, jasný a zrozumiteľný dôkaz môže mať logické medzery. V priebehu storočí si vyslúžil viac kritiky ako ktorýkoľvek iný dôkaz.
• Zeno Sidon²⁾ : "Nepreukázalo sa, že strany sa nestretnú skôr, ako dosiahnu vrcholy."
  
• Existujú modely geometrie, v ktorých sa kruhy nepretínajú. Napr. afinný priestor nad poľom racionálnych čísel.
5. Potrebný sú ďalšie postuláty napr. :
• "Dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka."
• "Ak je súčet polomerov dvoch kruhov väčší ako úsečka spájajúci ich stredy, potom sa dva kruhy pretínajú."

Dynamické geometrické systémy sa vyznačujú vysokou mierou interaktivity a vizualizácie.

1. Interaktivita DGS umožňuje zmenu vstupných parametrov, ktorá indukuje zmeny v skonštruovaných útvarov. Interaktívna zmena môže byť polohová alebo metrická. Príklad Hypocykloida.
2. Vizualizácia je schopnosť znázorniť základné aj odvodené geometrické pojmy a vzťahy medzi nimi. (Žilková, 2011)¹⁾
3. Úroveň vizualizácie priamo závisí od reprezentácie východiskových elementárnych pojmov/objektov.
4. Východiskovým pojmom v DGS je bod.
5. Odvodené pojmy (priamka, kruh, ...) sú definované ako množiny bodov s danou vlastnosťou v súlade s axiomatickým poňatím geometrie.

V GeoGebre je bod vizuálne modelovaný ako "krúžok" ale reálne je bod reprezentovaný ako usporiadaná dvojica reálnych čísel.

Poznámky.

1. V DGS môže byť bod modelovaný aj pomocou iných symbolov, napríklad sa používajú symboly $\times,+, \diamond$.
2. Väčší výber symbolov rôznej hrúbky a širokej farbenej škále pomáha rozvíjať geometrickú predstavivosť.
3. Symbolicky pre bod platí $A \in E_2 \Leftrightarrow A=[a,b];a,b \in R$.
4. Priamka je určená práve dvoma rôznymi bodmi. V GeoGebre je priamka modelovaná pomocou grafu lineárnej funkcie.
5. Úsečka ako množina bodov, ktoré ležia medzi dvoma bodmi.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1) Žilková, K.: DYNAMICKÉ GEOMETRICKÉ SYSTÉMY (DGS) - SOFTVÉROVÁ PODPORA VZDELÁVANIA. Journal of Technology and Information Education.
     Časopis pro technickou a informační výchovu. 1/2011, Volume 3, Issue 1, ISSN 1803-537X. Dostupné na https://jtie.upol.cz/pdfs/jti/2011/01/12.pdf.
2) Epikureánsky filozof zo začiatku prvého storočia B.C.E. (nezamieňať si so Zenom z Eley, ktorý je známy paradoxmi).

Nástroje programu GeoGebra na rysovanie základných geometrických útvarov

Vyskúšajte si konštrukcie rôznych druhov útvarov v prednastavenom výkrese, ktorý si stiahnite Tu →
Program GeoGebra umožňuje pomocou nástroja:

1. Priamka narysovať rôzne jednorozmerné útvary - priamku, úsečku, polpriamku, vektor ...
• Kliknite na túto ikonku v stiahnutom pracovnom hárku a prezrite si ponuku.
• Vyberte požadovaný nástroj a narysujte zvolený geometrický útvar.
2. Kolmicanarysovať kolmicu, rovnobežku, os úsečky a uhla, dotyčnice ...
• Opakujte postup: Vyberte požadovaný nástroj a narysujte zvolený geometrický útvar.
V nasledujúcom príklade je prezentovaná konštrukcia priesečníka výšok (ortocentra) trojuholníka $ABC$ .

Poznámky.

1. GeoGebra umožňuje manipulovať so geometrickými útvarmi, ktoré sa zobrazujú v nákresni.
2. Základným atribútom manipulácie je dynamická zmena polohy bodu, ktorá zachováva incidenciu bodu a geometrického útvaru.
3. Pri používaní DGS sa objavujú slovné spojenia - premiestniť bod, pevný resp. voľný bod, zmena štýlu bodu ... Vallo, Žilková.
4. Zmena polohy bodu má veľký význam, ak skúmame vlastnosť útvaru v závislosti od polohy determinujúcich bodov tohto útvaru.
5. Pri klasickom spôsobe vyučovania geometrie (papier, pravítko, ceruzka) premiestniť bod nie je možné. Narysovaný bod je vždy pevný.
6. Dynamická zmena polohy útvarov, pričom sa nenaruší incidencia týchto útvarov, iniciovala názov dynamické geometrické softvéry.

Definícia.
Budeme hovoriť, že bod $A$ pri transformácii $T$ je premiestnený do bodu $A'=T(A)$, ak platí: $A \in U \Leftrightarrow A' \in T(U)$.
Pri premiestňovaní incidencia sa zachováva.

Príklad.
V trojuholníku $ABC$ zostrojte výšky trojuholníka. Pri premiestňovaní vrcholov trojuholníka budú sa výšky pretínať v jednom bode?

.

1. Postup konštrukcie si stiahnite Tu a urobte vlastnú konštrukciu v novom pracovnom hárku, ktorý si stiahnite Tu →.
2. Riešenie zahŕňa nasledujúce kroky:
1. zostrojenie bodov a zostrojenie trojuholníka $ABC$;
2. priesečník výšok je priesečník kolmíc/priamok, ktoré sú kolmé na priamky prechádzajúce vrcholmi trojuholníka.

Poznámka.
Pozrite si vyjadrenie Alberta Einsteina o Euklidových Základoch a o dôkaze, že výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode Tu.

Zobrazenie resp. skrytie objektov 

1. Nasledujúci postup je prezentovaný dynamickou konštrukciou (appletom) pri riešení nižšie uvedeného príkladu
2. Zostrojíme bod $A$. Zvolíme nástroj a z ponuky
3. Vyberieme Začiarkavacie políčko, ktoré pomenujeme napr. názvom $a$
• Aktivujeme Vlastnosti bodu a vyberieme Pokročilé
• Do okna Podmienka na ukázanie objektu napíšeme názov $a$ 
• Pri aktivácii Začiarkavacieho políčka sa bod $A$ zobrazí resp. pri jeho deaktivácii bod $A$ nezobrazí.

Príklad.
Vytvorte konštrukciu, ktorá pomocou začiarkavacích políčok zobrazí (skryje) body $A, B$ a priamku $p = AB$.

Použite pracovný list →

Cvičenie.
Vytvorte konštrukciu, v ktorej po aktivácii začiarkavacích políčok sa budú zobrazovať grafy funkcií sin, cos, ...
Zároveň zostrojte dynamický bod, ktorý sa bude pohybovať po grafe týchto funkcií. Pozrite si ukážku Tu → 

GeoGebra umožňuje zobrazovať text v rôznych formátoch

1. Preddefinované štýly textu: Sans Serif, Serif, Bold, Kurzíva. Farby neobmedzene.
2. Napríklad aktivovaním nástroja po vložení TeX zápisu:
   \textbf \textit \textcolor{00005A} {Navy \; \textbf \textcolor{red} {Red} \; \textit \textbf \textcolor{0BDF00} {Green}
   sa zobrazí/vytvorí text
   →
3. Môžeme vytvoriť kombináciu normálneho textu s TeX príkazom. Napr. pre text "$\text{Priamka } \overleftrightarrow{AB}$" má príkaz tvar (zápis):
    \text{Priamka } \overleftrightarrow{AB}
4. V nasledujúcej tabuľke je niekoľko ukážok textov, kliknite na príslušný odkaz.

→

→

GeoGebra umožňuje

1. LaTeX zápisy, pričom je možné vkladať základné matematické výrazy a symboly. Pozrite si ponuku pre TeX →.
2. Vytvoriť dynamický text - príkaz: Ak( <Podmienka1>, <Text 1>, <Podmienka 2>, <Text 2>, ..., <Inak>) vytvorí resp. zobrazí
• text "Text 1", keď je splnená prvá podmienka, "Text 2", ak je splnená druhá podmienka atď.
• ak nie je splnená žiadna z podmienok, tak zobrazí text "Inak".

Príklad.
Vytvorte celočíselný posuvník $1 \leq a \leq n$. Potom do vstupného poľa zadajte príkaz:
Ak(a ≟ 1, "Bianka PARIŠKOVÁ", a ≟ 2, "Vladimír KOBZA", a ≟ 3, "Laura KOZOLKOVÁ", "Marek MASTIŠ").
Program GeoGebra

1. pre $a = 1$to zobrazí/vráti text "Bianka PARIŠKOVÁ";
2. pre $a = 2$ zobrazí text "Vladimír KOBZA";
3. pre $a = 3$ to bude text "Laura KOZOLKOVÁ";
4. pre všetky ostatné hodnoty $a \geq 4$ meno "Marek MASTIŠ".

Trojdimenzionálna verzia programu GeoGebra umožňuje zobrazovať priestorové útvary v euklidovskej rovine.

Uvádzame ukážku konštrukcie Rez kockou od autora Vinkler.
Stiahnite si applet Tu
Na stránke http://www.geogebratube.org/ sa nachádza veľké množstvo edukačných materiálov.

Konštrukčná úloha 1
Zostrojte rovnoramenný lichobežník $ABCD$, ak poznáte dĺžky základní $a, c$  a veľkosť vnútorného uhla $\alpha$. [Zdroj →] Popis konštrukcie:

1. $AB; |AB| = a$
2. $S;$ - stred $AB$
3. $P; P \in \vec{SA} , |SP| = c/2$
4. $p; P \in p, p \perp AB$
5. $\vec{AX}; |\angle BAX| = \alpha$
6. $D; D \in p \cap \vec{AX}$
7. $q; D \in q, q \parallel AB$
8. $C; C \in q, |DC| = c, |DS| = |CS|$
9. štvoruholník $ABCD$ .
Otvorte si zadanie Tu                                              .

Konštrukčná úloha 2
Zostrojte kružnicu, ktorá prechádza bodom $K$ a dotýka sa polpriamok $p, q$.
 .
Otvorte si zadanie Tu.

Poznámky

1. Množina stredov všetkých kružníc, ktoré ležia vnútri uhla $BAC$ a dotýkajú sa polpriamok $AB, AC$, je os uhla $BAC$ okrem bodu $A$.
2. Na osi uhla si zvolíme ľubovoľný stred $D$ pomocnej kružnice $c$ (zelená farba).
3. Hľadaná kružnica a pomocná kružnica sú rovnoľahlé (podobné), obidve majú stred na osi a dotýkajú sa ramien uhla.
4. Pomocou rovnoľahlosti, ktorá bodu $F$ priradí bod $K$ zostrojíme hľadanú kružnicu.

Množina bodov danej vlastnosti
Určte množinu polôh ortocentra trojuholníka $ABC$ , ak jeho vrchol $C$ sa pohybuje po priamke $p$ rovnobežnej s $AB$ . Uvažujte aj iné trajektórie bodu $C$.
Otvorte si zadanie Tu.

Ortogonálne kružnice.
Je daná kružnica $k (S, r = 3 cm.)$. V jej bode $A$ vedieme dotyčnicu $t$. Ak stred ďalšie kružnice $h$ leží na tejto točne (okrem bodu $A$) a kružnica prechádza bodom $A$, hovoríme, že kružnice $k,h$ sú kolmé (Ortogonálne).
Zostrojte množinu stredov všetkých kružníc $h$, ktoré sú kolmé ku kružnici $k$ a majú polomer $r$ = 4 cm.