Chladná, K.: Sústava rovníc
Sústava dvoch rovníc s dvoma neznámymi
Tento študijný materiál vypracovala Bc. Kristína Chladná
Pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi využívame 3 metódy:
- dosadzovaciu (substitučnú) metódu;
- sčítaciu (adičnú) metódu;
- porovnávaciu (komparačnú) metódu.
Dosadzovacia (substitučná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Ukážme si to na príklade.
Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Príklad 1.
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu :
Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu :
Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:
Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu :
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
Ľ
Ľ
Ľ
Ľ
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu :
Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu :
Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:
Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu :
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
Ľ
Ľ
Ľ
Ľ
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi dosadzovacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b] = [; ].
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi dosadzovacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b] = [; ].
Sčítacia (adičná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr. vhodne násobíme tak, aby po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma „vypadla“.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinácia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.
I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.
Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr. vhodne násobíme tak, aby po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma „vypadla“.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinácia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.
I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.
Príklad 2.
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi .
Riešenie:
Chceme určiť napr. neznámu , teda potrebujeme, aby „vypadla“ neznáma . Násobíme teda prvú rovnicu číslom -2 a druhú rovnicu číslom 3.
Teraz obe rovnice sčítame:
Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej , ktorú sme získali, dosadíme napr. do druhej rovnice za neznámu :
a z toho .
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica .
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi .
Riešenie:
Chceme určiť napr. neznámu , teda potrebujeme, aby „vypadla“ neznáma . Násobíme teda prvú rovnicu číslom -2 a druhú rovnicu číslom 3.
Teraz obe rovnice sčítame:
Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej , ktorú sme získali, dosadíme napr. do druhej rovnice za neznámu :
a z toho .
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica .
Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi kombináciou sčítacej a dosadzovacej metódy.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi kombináciou sčítacej a dosadzovacej metódy.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
Porovnávacia (komparačná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu. Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Vypočítajme radšej jednoduchý príklad.
Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu. Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Príklad 3.
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi.
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu :
Z druhej rovnice si vyjadríme tiež neznámu :
Keďže sa rovnajú ľavé strany oboch rovníc, tak sa rovnajú i pravé strany týchto rovníc, takže vytvoríme rovnicu , ktorú vyriešime:
Získanú hodnotu premennej y dosadíme napr. do upravenej druhej rovnice:
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc podobne ako v príklade a .
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica .
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi.
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu :
Z druhej rovnice si vyjadríme tiež neznámu :
Keďže sa rovnajú ľavé strany oboch rovníc, tak sa rovnajú i pravé strany týchto rovníc, takže vytvoríme rovnicu , ktorú vyriešime:
Získanú hodnotu premennej y dosadíme napr. do upravenej druhej rovnice:
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc podobne ako v príklade a .
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica .