Chladná, K.: Sústava rovníc
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Didaktika matematiky |
Kniha: | Chladná, K.: Sústava rovníc |
Vytlačil(a): | Visiteur anonyme |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 11:40 |
Sústava dvoch rovníc s dvoma neznámymi
Tento študijný materiál vypracovala Bc. Kristína Chladná
Pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi využívame 3 metódy:
- dosadzovaciu (substitučnú) metódu;
- sčítaciu (adičnú) metódu;
- porovnávaciu (komparačnú) metódu.
Dosadzovacia (substitučná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Ukážme si to na príklade.
Táto metóda spočíva v tom, že z jednej rovnice si vyjadríme jednu neznámu a výraz ktorý takto dostaneme, dosadíme za túto neznámu do druhej rovnice.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Príklad 1.
Riešte sústavu rovníc
s neznámymi
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu
:
![2x - 3y = 5 /+3y 2x - 3y = 5 /+3y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92f1f51d8992f84de6c623539024e3dc.png)
![2x = 5 + 3y /:2 2x = 5 + 3y /:2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/665c399af7eb16e05f753380a90af050.png)
Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu
:
Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:
![5 + 3y - 4y = 2 5 + 3y - 4y = 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/864f6da5da4603a1e83466ea8725a028.png)
![5 - y = 2 /-5 5 - y = 2 /-5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f27e94c5e08a8477e5f8b48a1941e241.png)
![-y = -3 / \cdot (-1) -y = -3 / \cdot (-1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7314922e0c1e61c52e0b0c1778c32335.png)
Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu
:
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
Ľ
Ľ
Ľ
Ľ
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
Riešte sústavu rovníc
![2x - 3y = 5 2x - 3y = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e0794b730f3bd522aa4a127428f43eb.png)
![x - 2y = 1 x - 2y = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a869a244069539e145cd6528176c915e.png)
s neznámymi
![x, y \in R. x, y \in R.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7e8a6b20f8a1ca65f46b12b6f02477d6.png)
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![2x - 3y = 5 /+3y 2x - 3y = 5 /+3y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92f1f51d8992f84de6c623539024e3dc.png)
![2x = 5 + 3y /:2 2x = 5 + 3y /:2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/665c399af7eb16e05f753380a90af050.png)
![x =\frac {5}{2}+\frac{3}{2}y x =\frac {5}{2}+\frac{3}{2}y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/819496cb8e86ccbb0a479c70caacbfed.png)
Výraz, ktorý sme získali dosadíme do druhej rovnice za neznámu
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![\frac{5}{2} + \frac{3}{2} -2y=1 \frac{5}{2} + \frac{3}{2} -2y=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d7c094cae29397baf840fb0b32868f88.png)
Získali sme lineárnu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime:
![\frac{5}{2}+ \frac{3}{2}-2y=1 / \cdot2 \frac{5}{2}+ \frac{3}{2}-2y=1 / \cdot2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f16b680e76c2f8902ae8cbef9467b24.png)
![5 + 3y - 4y = 2 5 + 3y - 4y = 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/864f6da5da4603a1e83466ea8725a028.png)
![5 - y = 2 /-5 5 - y = 2 /-5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f27e94c5e08a8477e5f8b48a1941e241.png)
![-y = -3 / \cdot (-1) -y = -3 / \cdot (-1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7314922e0c1e61c52e0b0c1778c32335.png)
![y = 3 y = 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/db2833a220d92eec5966316c9505801a.png)
Získanú neznámu dosadíme do upravenej 1. rovnice a vypočítame neznámu
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![x = 5/2 + 3/2 . 3 = 5/2 + 9/2 = 14/2 = 7 x = 5/2 + 3/2 . 3 = 5/2 + 9/2 = 14/2 = 7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7b1d23a54bc6081c9558e9c4a2e1797a.png)
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
Ľ
![_1 = 2 \cdot 7 - 3 \cdot 3 = 14 - 9 = 5 _1 = 2 \cdot 7 - 3 \cdot 3 = 14 - 9 = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/084f4392b95167b7e35e82fdb982e0ca.png)
![P_1 = 5 P_1 = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/987fb10c9277bf8fa606eb7012b5e731.png)
Ľ
![_1 = P_1 _1 = P_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3117dc441b99ff72e8832a64d18e3088.png)
Ľ
![_2 = 7 - 2 \cdot 3 = 1 _2 = 7 - 2 \cdot 3 = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95b274a6e82f8b02dbdc8dab21131014.png)
Ľ
![_2 = P_2 _2 = P_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/199e66023e6e887ce2c66b290238394d.png)
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
![[x; y] = [7; 3]. [x; y] = [7; 3].](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/316114dddc51be0468b734805e9f8980.png)
Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc
![3a - 5b = 1 3a - 5b = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f5ba2f5a79b86538156a039baa33f178.png)
s neznámymi
dosadzovacou metódou.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b] = [; ].
Riešte sústavu rovníc
![3a - 5b = 1 3a - 5b = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f5ba2f5a79b86538156a039baa33f178.png)
![4a - 3b = 5 4a - 3b = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ad1a44a1ee115f66adeec4ecaa3d52c1.png)
s neznámymi
![a, b \in R a, b \in R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72b48f350fe69ba4f343363839e65249.png)
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica [a; b] = [; ].
Sčítacia (adičná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr.
vhodne násobíme tak, aby po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma „vypadla“.
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinácia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.
I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.
Táto metóda spočíva v tom, že každú rovnicu po úprave na základný tvar napr.
![2x+3y=4 2x+3y=4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/73f367f7cf3afb8d6c70cc3f59d5a00a.png)
Takto dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Pri „čistej“ sčítacej metóde to isté vykonáme i s druhou neznámou. V praxi je často využívaná kombinácia sčítacej a dosadzovacej metódy, čiže jednu neznámu určíme sčítacou metódou a druhú dosadením už známej hodnoty do niektorej z rovníc.
I túto metódu si radšej ukážeme na konkrétnom príklade.
Príklad 2.
Riešte sústavu rovníc
![2x - 3y = 5 2x - 3y = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e0794b730f3bd522aa4a127428f43eb.png)
![x – 2y = 1 x – 2y = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd9973c871e6fbcdca740d0a639b8f31.png)
s neznámymi
.
Riešenie:
Chceme určiť napr. neznámu
, teda potrebujeme, aby „vypadla“ neznáma
. Násobíme teda prvú rovnicu číslom -2 a druhú rovnicu číslom 3.
![2x - 3y = 5 / \cdot(-2) 2x - 3y = 5 / \cdot(-2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/22db761244f937928461d2dbdb7f0f7b.png)
![x - 2y = 1 / \cdot 3 x - 2y = 1 / \cdot 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/37a51df5e32f8bd9da7d6b8de93e947e.png)
![-4x + 6y = -10 -4x + 6y = -10](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ffe88d1fad8259db1334ba80fc28bc47.png)
![3x - 6y = 3 3x - 6y = 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/377031f6b1dc91a70abe665137e7616a.png)
Teraz obe rovnice sčítame:
![-4x + 3x + 6y - 6y = 3 - 10 -4x + 3x + 6y - 6y = 3 - 10](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6fc29a9808dbfe0f20d5f69802f6de43.png)
![-x = -7 / \cdot (-1) -x = -7 / \cdot (-1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/179786adffa09503e31a76a23a5b1d2d.png)
![x = 7 x = 7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/76921c2b538e08fed9eb6506aad6875a.png)
Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej
, ktorú sme získali, dosadíme napr. do druhej rovnice za neznámu
:
a z toho
.
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
![L´1 = 2 \in 7 - 3 \in 3 = 14 - 9 = 5 L´1 = 2 \in 7 - 3 \in 3 = 14 - 9 = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8d49e7eda44a49caa52418a04f377df9.png)
![P1 = 5 P1 = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a999771f8a9dcd04d5a60f9d1cdab62c.png)
![L´1 = P1 L´1 = P1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c855dee66c5743d7b9990b882b5ba343.png)
![L´2 = 7 - 2 \in 3 = 1 L´2 = 7 - 2 \in 3 = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6479c33635e1b241cbaac7b7d1e94989.png)
![P2 = 1 P2 = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e1a034a0115636d814525f4e68a72ab.png)
![L´2 = P2 L´2 = P2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63ac1c3af266426332d892eb175842a9.png)
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
.
Riešte sústavu rovníc
![2x - 3y = 5 2x - 3y = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e0794b730f3bd522aa4a127428f43eb.png)
![x – 2y = 1 x – 2y = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fd9973c871e6fbcdca740d0a639b8f31.png)
s neznámymi
![x, y \in R x, y \in R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6b49680a6eb261dc19fbd57c72799adb.png)
Riešenie:
Chceme určiť napr. neznámu
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![y y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/415290769594460e2e485922904f345d.png)
![2x - 3y = 5 / \cdot(-2) 2x - 3y = 5 / \cdot(-2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/22db761244f937928461d2dbdb7f0f7b.png)
![x - 2y = 1 / \cdot 3 x - 2y = 1 / \cdot 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/37a51df5e32f8bd9da7d6b8de93e947e.png)
![-4x + 6y = -10 -4x + 6y = -10](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ffe88d1fad8259db1334ba80fc28bc47.png)
![3x - 6y = 3 3x - 6y = 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/377031f6b1dc91a70abe665137e7616a.png)
Teraz obe rovnice sčítame:
![-4x + 3x + 6y - 6y = 3 - 10 -4x + 3x + 6y - 6y = 3 - 10](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6fc29a9808dbfe0f20d5f69802f6de43.png)
![-x = -7 / \cdot (-1) -x = -7 / \cdot (-1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/179786adffa09503e31a76a23a5b1d2d.png)
![x = 7 x = 7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/76921c2b538e08fed9eb6506aad6875a.png)
Ak chceme kombinovať sčítaciu a dosadzovaciu metódu, tak hodnotu neznámej
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png)
![7 - 2y = 1 7 - 2y = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f3c6b3522a123ec96c2f6d7988527f8.png)
![y = 3 y = 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f9c515f7fdd5fe9424cb404874ed200.png)
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc:
![L´1 = 2 \in 7 - 3 \in 3 = 14 - 9 = 5 L´1 = 2 \in 7 - 3 \in 3 = 14 - 9 = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8d49e7eda44a49caa52418a04f377df9.png)
![P1 = 5 P1 = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a999771f8a9dcd04d5a60f9d1cdab62c.png)
![L´1 = P1 L´1 = P1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c855dee66c5743d7b9990b882b5ba343.png)
![L´2 = 7 - 2 \in 3 = 1 L´2 = 7 - 2 \in 3 = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6479c33635e1b241cbaac7b7d1e94989.png)
![P2 = 1 P2 = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0e1a034a0115636d814525f4e68a72ab.png)
![L´2 = P2 L´2 = P2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/63ac1c3af266426332d892eb175842a9.png)
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
![[x; y] = [7; 3] [x; y] = [7; 3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc7940c734e828862be6aaf9aaeea42a.png)
Cvičenie:
Riešte sústavu rovníc
![5c - 3d = 1 5c - 3d = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/15369ac018454d3eaa01328d4ce43f15.png)
![-c - 7d = 15 -c - 7d = 15](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f4982c747cb62d4b1db16b65a4ed780.png)
s neznámymi
kombináciou sčítacej a dosadzovacej metódy.
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
Riešte sústavu rovníc
![5c - 3d = 1 5c - 3d = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/15369ac018454d3eaa01328d4ce43f15.png)
![-c - 7d = 15 -c - 7d = 15](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7f4982c747cb62d4b1db16b65a4ed780.png)
s neznámymi
![c, d \in R c, d \in R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33abacd8b930029efec61535353e3e30.png)
Riešenie:
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
![[c; d] = [ ; ]. [c; d] = [ ; ].](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/970199e3c0a451f3f1f67efed4fe05a4.png)
Porovnávacia (komparačná) metóda:
Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu. Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Vypočítajme radšej jednoduchý príklad.
Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu. Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.
Príklad 3.
Riešte sústavu rovníc
![2x - 3y = 5 2x - 3y = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e0794b730f3bd522aa4a127428f43eb.png)
![x - 2y = 1 x - 2y = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30f72825422773768ec34100919b6cf4.png)
s neznámymi
.
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu
:
![2x - 3y = 5 / +3y 2x - 3y = 5 / +3y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e57d61ac4b945c8e7877ca3629440850.png)
![2x = 5 + 3y /:2 2x = 5 + 3y /:2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/030bc2f081d9314ff47eedf607e069f4.png)
![x = 5/2 + 3/2y x = 5/2 + 3/2y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b34b894e64da5019ec476961c0e926c2.png)
Z druhej rovnice si vyjadríme tiež neznámu
:
![x - 2y = 1 / +2y x - 2y = 1 / +2y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/64bf6cdb34ed66b2eb1a1674f02f1848.png)
Keďže sa rovnajú ľavé strany oboch rovníc, tak sa rovnajú i pravé strany týchto rovníc, takže vytvoríme rovnicu
, ktorú vyriešime:
![1 + 2y = 5/2 + 3/2y / \cdot 2 1 + 2y = 5/2 + 3/2y / \cdot 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c5053461900b8ad27802c044b8e95ec6.png)
![2 + 4y = 5 + 3y / - 2 - 3y 2 + 4y = 5 + 3y / - 2 - 3y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a3ab881480427e2606992f22bc90de44.png)
![y = 3 y = 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/db2833a220d92eec5966316c9505801a.png)
Získanú hodnotu premennej y dosadíme napr. do upravenej druhej rovnice:
![x = 1 + 2 \cdot 3 = 7 x = 1 + 2 \cdot 3 = 7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/402f521e1576bd878a3072cdfcb8fef5.png)
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc podobne ako v príklade
a
.
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
.
Riešte sústavu rovníc
![2x - 3y = 5 2x - 3y = 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e0794b730f3bd522aa4a127428f43eb.png)
![x - 2y = 1 x - 2y = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30f72825422773768ec34100919b6cf4.png)
s neznámymi
![x, y \in R x, y \in R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/215694e625e9f530ee1dbeffe14f8d5b.png)
Riešenie:
Z prvej rovnice si vyjadríme napr. neznámu
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![2x - 3y = 5 / +3y 2x - 3y = 5 / +3y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e57d61ac4b945c8e7877ca3629440850.png)
![2x = 5 + 3y /:2 2x = 5 + 3y /:2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/030bc2f081d9314ff47eedf607e069f4.png)
![x = 5/2 + 3/2y x = 5/2 + 3/2y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b34b894e64da5019ec476961c0e926c2.png)
Z druhej rovnice si vyjadríme tiež neznámu
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![x - 2y = 1 / +2y x - 2y = 1 / +2y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/64bf6cdb34ed66b2eb1a1674f02f1848.png)
![x = 1 + 2y x = 1 + 2y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/37318306cc721c3d0d49d080f4c852a8.png)
Keďže sa rovnajú ľavé strany oboch rovníc, tak sa rovnajú i pravé strany týchto rovníc, takže vytvoríme rovnicu
![P1=P2 P1=P2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a3def6ebe0ecc6c5c984708608586e87.png)
![1 + 2y = 5/2 + 3/2y / \cdot 2 1 + 2y = 5/2 + 3/2y / \cdot 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c5053461900b8ad27802c044b8e95ec6.png)
![2 + 4y = 5 + 3y / - 2 - 3y 2 + 4y = 5 + 3y / - 2 - 3y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a3ab881480427e2606992f22bc90de44.png)
![y = 3 y = 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/db2833a220d92eec5966316c9505801a.png)
Získanú hodnotu premennej y dosadíme napr. do upravenej druhej rovnice:
![x = 1 + 2 \cdot 3 = 7 x = 1 + 2 \cdot 3 = 7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/402f521e1576bd878a3072cdfcb8fef5.png)
Skúšku správnosti robíme dosadením vypočítaných hodnôt neznámych do obidvoch rovníc podobne ako v príklade
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35c0804c862a635e2fe8371dc43e25d0.png)
![3 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4047386ab7115fcd58f871a285084df2.png)
Riešením danej sústavy je usporiadaná dvojica
![[x; y] = [7; 3] [x; y] = [7; 3]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79e64cbb379cb394f20e38e589c8a505.png)