Číselné sústavy: Veta o rozvoji prirodzeného čísla

Číselné sústavy

Veta o rozvoji prirodzeného čísla

Nech

$z$ je prirodzené číslo,

$z>1$ . Potom každé nenulové prirodzené číslo

$x$ je možné jednoznačne vyjadriť v tvare:
(R)

$\; \; \; \; \; \; \; \; x=a_n z^n+a_ {n-1}z^{n-1}+a_{n-2} z^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +a_1 z+a_0$ ,
kde

$a_i$ sú prirodzené čísla, pre ktoré platí

$0 \leq a_i< z$ , pre

$i \in \lbrace{0,1,2, \cdot \cdot \cdot ,n }\rbrace$ a

$a_n \neq 0$ .

Ak je prirodzené číslo

$x$ zapísané v tvare (R) hovoríme, že sme ho vyjadrili v číselnej sústave o základe $z$ alebo v

$z$ -adickej sústave. Skrátene píšeme

$\; \; \; \; \; x=(a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdot \cdot \cdot a_1 a_0 )_z$ .
Pri zápise konkrétneho čísla môžeme zátvorky v predchádzajúcom zápise vynechať.

Číslo

$z$ sa nazýva základ číselnej sústavy

Symboly $a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \cdot \cdot \cdot ,a_1, a_0$ sa nazývajú číslice alebo cifry.
O číslici $a_i$ hovoríme, že je $i$ -teho rádu alebo rádu $i$ .
Číslo $z^i$ sa volá jednotka rádu $i$ .
Ak je $z = 10$ , tak bude písať len $x=a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdot \cdot \cdot a_1 a_0$ a hovoriť, že číslo $x$ je zapísané v desiatkovej (dekadickej) sústave.

Poznámka

Myšlienka vytvorenia rozvoja (R) pre číslo

$x$ spočíva v tom, že číslo

$x$ postupne delíme základom

$z$ .
Potom vzniknutý neúplný (čiastočný) podiel opäť delíme číslom

$z$ , atď.
Toto delenie robíme tak dlho, kým čiastočný podiel nie je nulový.
Zo získaných zvyškov potom vytvoríme rozvoj.

$<span class="nolink">$ .$ $