Číselné sústavy

Portál:	Virtuálna Univerzita Mateja Bela
Kurz:	Didaktika matematiky
Kniha:	Číselné sústavy

Vytlačil(a):	Hosťovský používateľ
Dátum:	piatok, 3 mája 2024, 17:31

Opis

Číselné sústavy

Obsah

Úvod
G-adická číselná sústava
Veta o rozvoji prirodzeného čísla
Kritériá (znaky) deliteľnosti
- Deliteľnosť 2, 5 a 10
- Deliteľnosť 3 a 9

Úvod

V prehistorickej dobe vyjadrovali čísla pomocou vruboviek. Vo Věstoniciach bola nájdená vlčia kosť zo staršej doby kamennej, na ktorej bolo 55 usporiadaných vrypov.
V Zaire bola nájdená tyč z doby asi pred 10 000 rokmi, na ktorej už bolo zrejmé zoskupovanie vrypov.

Aditívne nepozičné sústavy - každý znak mal svoju hodnotu a číslo sa určilo sčítaním hodnôt všetkých znakov. Nezáležalo na tom, v akom poradí sme znaky napísali.
Takáto sústava bola používaná napr. v starom Egypte →

Veľmi skoro sa objavila myšlienka, aby pozícia znaku určovala aj jeho hodnotu. Tak sa začali objavovať pozičné sústavy.

Príkladom bolo vyjadrovanie čísel u starých Sumerov →
Zaujímavá a dlho pretrvávajúca sústava má pôvod v rímskej ríši →

Desiatková číselná sústava - označenie ľubovoľného prirodzeného čísla pomocou desiatich znakov
• objav indickej matematiky - jeden z najväčších objavov, ku ktorým ľudstvo vo svojich dejinách dospelo

Na efektívne počítanie sa v minulosti (nie dávnej) používali počítadlá typu Abacus →

Drevoryt Gregora Reischa z roku 1504 (obr. 23) s názvom Margareta philosophica (Perla filozofia) ukazuje kontrast medzi výkonnosťou algoritmika vľavo (Boetius) a neschopnosťou abakistu vpravo (nešťastný Pytagoras).

G-adická číselná sústava

Na nasledovnom príklade budeme ilustrovať podstatu vyjadrovanie čísel v číselných sústavách.

Príklad.
Najskôr žiakom ukážeme graficky, ako by sme dospeli k zápisu počtu hviezdičiek na nasledovnom obrázku v číselnej sústave so základom 4 (v štvorkovej číselnej sústave). Vieme, že zápis počtu hviezdičiek z obrázka v (nám dobre známej) desiatkovej sústave je 27 (dve desiatky a sedem jednotiek).

Na obrázku je 27 hviezdičiek a zoskupili sme ich do skupín po štyri hviezdičky.

Dostali sme 6 skupín po štyri hviezdičky a 3 zostali nezoskupené.
Týchto 6 skupín opäť zoskupíme po 4
Dostali sme 1 veľkú skupinu, zostali dve malé skupiny a ešte máme tri voľné (nezoskupené) hviezdičky.

Zápis čísla 27 v sústave o základe 4 teda vyzerá nasledovne: 123, čo čítame „jedna dva tri“. Čítanie „sto dvadsať tri“ je používané iba pre desiatkovú sústavu. Samozrejme číslice (cifry) sme si požičali z desiatkovej sústavy. Aby nedošlo k nedorozumeniu, v akej sústave práve pracujeme, napíšeme základ sústavy ako index, tzn. $(27)_{10}=(123)_4$ .

Postupné zoskupovanie, ktoré je znázornené na obrázku môžeme zapísať postupne ako delenie (so zvyškom) číslom 4:

27 = 4.6 + 3
6 = 4.1 + 2
1 = 4.0 + 1

Potom už stačí napísať získané zvyšky v poradí ako idú zdola nahor (a dopísať index 4). Pozrite si Excel súbor Tu

$$ .$ $

Veta o rozvoji prirodzeného čísla

Nech

$z$ je prirodzené číslo,

$z>1$ . Potom každé nenulové prirodzené číslo

$x$ je možné jednoznačne vyjadriť v tvare:
(R)

$\; \; \; \; \; \; \; \; x=a_n z^n+a_ {n-1}z^{n-1}+a_{n-2} z^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +a_1 z+a_0$ ,
kde

$a_i$ sú prirodzené čísla, pre ktoré platí

$0 \leq a_i< z$ , pre

$i \in \lbrace{0,1,2, \cdot \cdot \cdot ,n }\rbrace$ a

$a_n \neq 0$ .

Ak je prirodzené číslo

$x$ zapísané v tvare (R) hovoríme, že sme ho vyjadrili v číselnej sústave o základe $z$ alebo v

$z$ -adickej sústave. Skrátene píšeme

$\; \; \; \; \; x=(a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdot \cdot \cdot a_1 a_0 )_z$ .
Pri zápise konkrétneho čísla môžeme zátvorky v predchádzajúcom zápise vynechať.

Číslo

$z$ sa nazýva základ číselnej sústavy

Symboly $a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \cdot \cdot \cdot ,a_1, a_0$ sa nazývajú číslice alebo cifry.
O číslici $a_i$ hovoríme, že je $i$ -teho rádu alebo rádu $i$ .
Číslo $z^i$ sa volá jednotka rádu $i$ .
Ak je $z = 10$ , tak bude písať len $x=a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdot \cdot \cdot a_1 a_0$ a hovoriť, že číslo $x$ je zapísané v desiatkovej (dekadickej) sústave.

Poznámka

Myšlienka vytvorenia rozvoja (R) pre číslo

$x$ spočíva v tom, že číslo

$x$ postupne delíme základom

$z$ .
Potom vzniknutý neúplný (čiastočný) podiel opäť delíme číslom

$z$ , atď.
Toto delenie robíme tak dlho, kým čiastočný podiel nie je nulový.
Zo získaných zvyškov potom vytvoríme rozvoj.

$$ .$ $

Zápis čísla v sústave

Zapíšte číslo

$482$ v číselnej sústave o základe

$5$
Postupným delením čísla 482 a následných čiastočných podielov číslom 5 postupne dostávame.

482 = 5 . 96 + 2
96 = 5 . 19 + 1
19 = 5 . 3 + 4
3 = 5 . 0 + 3

Teraz už stačí vypísať získané zvyšky zdola nahor a z uvedenej schémy už bezprostredne vyplýva, že $482 = {3412}_5$ .

Ak chceme vyjadrovať čísla napríklad v sústave o základe 12, musíme mať k dispozícii 12 číslic.
Dohodneme sa, že číslo 10 označíme číslicou (symbolom) A a číslo 11 označíme číslicou (symbolom) B. Pri vyššom základe ako 12 postupujeme analogicky a využívame ďalšie písmená (C, D, E, ...).
Teraz môžeme riešiť aj nasledujúci príklad.

Zapíšte číslo 279 v číselnej sústave o základe 12
Postupným delením čísla 279 a následných čiastočných podielov číslom 12 postupne dostávame

279 = 12 . 23 + 3
23 = 12 . 1 + 11 (B)
1 = 12 . 0 + 1

Teraz už stačí vypísať získané zvyšky zdola nahor a z uvedenej schémy už bezprostredne vyplýva, že

$279 = 1 \textrm B3_{12}$ . . Pozrite si Excel súbor Tu

$$ .$ $

Počtové výkony

Počtové výkony s prirodzenými číslami - sčítanie, násobenie

Pri sčitovaní v číselných sústavách o základe $z$ využívame dva spôsoby: spamäti a písomný. Žiaci poznajú algoritmy pre sčítanie resp. násobenie viacciferných čísel v desiatkovej sústave už zo základnej školy.

Príklad. Vypočítajte v sedmičkovej sústave s využitím algoritmu pre písomné sčítanie: 263 + 324

Riešenie

263

+ 324

620

4 + 3 = 7 + 0

1 + 2 + 6 = 7 + 2

1 + 3 + 2 = 6

Príklad. Vypočítajte v sedmičkovej sústave s využitím algoritmu pre písomné násobenie: 63 x 3

Riešenie

x 3

252

3 x 3 = 7 + 2

1 + (3 x 6) = 2 x 7 + 5

2 + (3 x 0) = 2

Komentár k sčítaniu

• postup spočíva v tom, že najprv sčítame číslice rádu 0 4 + 3 = 7 + 0
• napíšeme číslicu 0 hľadaného súčtu a číslicu 1 pripočítame k súčtu číslic rádu 1 1 + 2 + 6 = 7 + 2
• napíšeme číslicu 2 a číslicu 1 pripočítame k súčtu číslic rádu 2 1 + 3 + 2 = 6
• napíšeme číslicu 6 pod daný rád

Analogicky môžeme postupovať v číselnej sústave s ľubovoľným základom. Užitočné je mať napísanú tzv. tabuľku základných spojov pre sčítanie resp. násobenie pre danú sústavu. Vytvorte si takéto tabuľky pre číselnú sústavu so základom 9.

Vypočítajte v číselnej sústave so základom 9 ďalšie príklady vhodné pre žiakov SŠ.

$$ .$ $

Písomné delenie

Počtové výkony s prirodzenými číslami - delenie

Pri delení v číselných sústavách o základe $z$ využívame prevažne len písomný algoritmus. Žiaci poznajú písomný algoritmus pre delenie viacciferných čísel v desiatkovej sústave zo základnej školy.

Príklad. Vypočítajte v osmičkovej sústave podiel: 41320₈ : 5. Použite algoritmus pre písomné delenie.

Riešenie
Pri riešení budeme potrebovať násobky čísla 5 osmičkovej číselnej sústave.
So žiakmi si najskôr vytvoríme takúto tabuľku („malú násobilku pre číslo 5“).

$n$

$1 \; \; \; \; \; \; \;\; \;\; 2\; \; \; \; \; \;\; \;\; \; 3 \; \; \; \; \; \;\; \;\; \; 4 \; \; \; \; \; \;\; \;\;\; \; \; 5 \; \; \; \; \; \; \; \; \;\; \; 6 \; \; \; \; \; \; \; \; \;\; \; 7$

$5 \cdot n$

$\; \; \; \; \; \; 5 \; \; \; \; \; \; \; \; 12_8\; \; \; \; \; \; \; 17_8\; \; \; \; \; \; \; \; 24_8\; \; \; \; \; \; \; \; 31_8\; \; \; \; \; \; \; \; 36 _8 \; \; \; \; \; \; \; \; 43_8$

41320₈ : 5 = 6534₈

- 36

- 31

- 17

- 24

Odpoveď: Pri delení čísla 41320₈ číslom 5 je teda čiastočný podiel 6534₈ a zvyšok je 4.

Vypočítajte v číselnej sústave so základom 9 ďalšie príklady vhodné pre žiakov SŠ.

$$ .$ $

Kritériá (znaky) deliteľnosti

Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí pojem deliteľnosti prirodzených (ale aj celých) čísel. Mnohé z vlastností deliteľnosti sú využiteľné aj v rôznych oblastiach matematiky. Vetu o delení so zvyškom využívajú žiaci už od ZŠ.

Veta o delení so zvyškom
Ku každým dvom prirodzeným číslam

$a,b \;(b \geq 0)$ , existuje jediná dvojica celých čísel

$q,r$ , pre ktorú platí:
$a = b.q + r, \;\; r < b$ .
Číslo

$a$ nazývame delenec, číslo

$b$ deliteľ, číslo

$q$ čiastočný (alebo neúplný) podiel a číslo

$r$ zvyšok.

Pri delení prirodzeného čísla

$a$ nenulovým prirodzeným číslom

$b$ dostaneme (čiastočný) podiel

$q$ a zvyšok

$r < b$ , pričom podiel a zvyšok sú delencom a deliteľom jednoznačne určené.

Hovoríme, že prirodzené číslo $b$ delí prirodzené číslo $a$ , ak existuje prirodzené číslo $c$ , že platí $a=b . c$ .
V takomto prípade píšeme $b|a$ a hovoríme tiež, že číslo $a$ je deliteľné číslom $b$ alebo, že číslo $a$ je násobkom čísla $b$ .
Ak číslo $b$ nedelí číslo $a$ píšeme $b∤a$ .

V nasledujúcom tvrdení zhrnieme niektoré zo základných vlastností deliteľnosti prirodzených čísel.

Základné vlastnosti deliteľnosti. Pre ľubovoľné prirodzené čísla

$a,b,c$ platí:

$1|a,\;a|a,\;a|0,$
ak $b|a,a \neq 0$ , tak $b < a$ ,
ak $b|a \wedge a|c$ , tak $b|c$ ,
$a|b \wedge b|a$ práve vtedy, keď $a=b$ ,
ak $a|b \wedge a|c$ , tak $a|(b+c)$ ,
ak $a|b \wedge a|c, \; b ≥ c$ , tak $a|(b – c)$ .

Poznámka

Často budeme využívať najmä posledné dve tvrdenia. Z uvedených tvrdení bezprostredne vyplýva, že ak je prirodzené číslo zapísané ako súčet dvoch prirodzených čísel, napríklad

$x= y+z$ a dve z nich sú deliteľné číslom

$d$ , tak aj to tretie je deliteľné číslom

$d$ .

$$ .$ $

Deliteľnosť 2, 5 a 10

Budeme sa venovať niektorým vybraným kritériám (znakom) deliteľnosti. Skúmajme, kedy je prirodzené číslo deliteľné dvomi.
Napíšme si niekoľko prirodzených čísel deliteľných dvomi: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30. Všimnime si ich posledné cifry. Vidíme, že na mieste jednotiek sa striedajú iba číslice 0, 2, 4, 6, 8.
Toto pozorovanie ľahko zovšeobecníme pre ľubovoľné prirodzené číslo.

Deliteľnosť dvomi
Nech číslo

$x$ má rozvinutý zápis v desiatkovej číselnej sústave v tvare:

$\; \; \; \; \; \; \; \; x=a_n 10^n+a_ {n-1}10^{n-1}+a_{n-2} 10^{n-2}+ \cdot \cdot \cdot +a_1 10+a_0$
Skrátený zápis čísla

$x$ je v tvare

$\; \; \; \; \; x=(a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdot \cdot \cdot a_1 a_0 )$

Rozvoj čísla

$x$ môžeme chápať aj ako súčet dvoch čísel:

$A=10(a_n 10^ {n-1}+a_{n-1}10^ {n-1}+a_{n-2} 10^ {n-2}+ \cdot \cdot \cdot +a_1 )$ a čísla

$B = a_0$ . Zrejme sčítanec

$A$ je deliteľný číslom 2. Deliteľnosť čísla

$x$ závisí len od toho, či aj druhý sčítanec, t.j. cifra nultého rádu

$a_0$ je párna. Súčasne vidíme, že od poslednej cifry závisí aj deliteľnosť číslom 5 a 10.

Tvrdenia, ktoré umožnia zistiť, či nejaké číslo je deliteľné iným (obvykle jednociferným) bez toho, aby sme vykonali delenie jedného druhým, sa volajú kritériá alebo znaky deliteľnosti.
Pre číselnú sústavu so základom

$z$ plat:

Nech

$a=(a_n a_{n-1} \cdot \cdot \cdot a_1 a_0 )_z$ je číslo vyjadrené v číselnej sústave o základe

$z$ . Nech číslo

$d$ delí základ

$z$ . Potom číslo

$a$ je deliteľné číslom

$d$ vtedy a len vtedy, keď číslo

$d$ delí aj číslo

$a_0$

Príklad
Číslo

$(1216)_9$ je deliteľné číslom

$3$ lebo

$3$ delí

$a_0 = 6$ . Presvedčte sa o tom vydelením aj výpočtom v deviatkovej aj v desiatkovej číselnej sústave.

$$ .$ $

Deliteľnosť 3 a 9

Príklad

Uvažujme štvorciferné číslo

$x=abcd$ zapísané v desiatkovej sústave. Jeho rozvoj je

$x = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + c \cdot 10 + d = 1 000a + 100b + 10c + d$

Po úprave:

$10^3 =999+1= 9 \cdot 111 +1$ )

$10^2 =99+1= 9 \cdot 11 +1$ )

$10=9+1= 9 \cdot 1 +1$ )
dostávame

$x = 9.(111a+11b+c) + (a+b+c+d)$

Sčítanec

$9.(111a+11b+c)$ je deliteľný číslom

$9$ , preto platí nasledujúce tvrdenie pre desiatkovú číselnú sústavu:
Číslo

$x$ je deliteľné číslom

$9$ práve vtedy, keď: číslo $9$ delí ciferný súčet $a+b+c+d$ . Zrejme takéto kritérium platí aj pre deliteľnosť číslom 3 v desiatkovej číselnej sústave.

Uvedený postup môže byť motiváciou (návodom) pre odvodenie kritéria deliteľnosti číslom

$9$ v ľubovoľnej číselnej sústave.

Kritérium deliteľnosti číslom $z-1$
Prirodzené číslo

$a=(a_n a_{n-1} \cdot \cdot \cdot a_1 a_0 )_z$ je deliteľné číslom

$z-1$ vtedy a len vtedy, keď číslo
$a_n +a_{n-1}+ \cdot \cdot \cdot +a_1 +a_0$
je deliteľné číslom $z-1$ .

$$ .$ $