Voľné rovnobežné premietanie
Voľné rovnobežné premietanie
Medzi dôležité tematické oblasti stereometrie zaraďujeme aj princípy zobrazovania útvarov (telies) do roviny (priemetne). Pripomeňme si, že základný trojrozmerný geometrický útvar je jednoznačne určený svojimi význačnými bodmi1).
Obrazom geometrického útvaru
vo voľnom rovnobežnom premietaní bude geometrický útvar, ktorý pozostáva z rovnobežných priemetov všetkých význačných bodov,
ktorými je útvar
určený.
Obrazom geometrického útvaru
![\small U \small U](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3a6218532583bec576468c233df6d36a.png)
![\small U \small U](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3a6218532583bec576468c233df6d36a.png)
Nech
je trojrozmerný euklidovský priestor a nech rovina
je jeho podmnožinou. Ďalej nech je daná pevná priamka
, ktorá je rôznobežná s rovinou
.
![\small E_3 \small E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e86f634a3ca9f92a19533fb7fcc190c1.png)
![\pi \pi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c318218ac259b602a26bb1be0527bd66.png)
![s = \small SS_1 s = \small SS_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/52873c73f4aeca77d5616db6d1baab82.png)
![\pi \pi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/561b529836673ac608786439a2087c04.png)
Definícia
- voľné rovnobežné premietanie2) (VRP)
Zobrazenie
množiny všetkých bodov priestoru
, ktoré každému bodu
priradí priesečník
priamky
s rovinou
, nazveme voľné rovnobežné premietanie do roviny
so smerom
(označujeme
.
;
, pričom
Zobrazenie
![f f](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ce40937fdfbd06b8a15244e102a09356.png)
![\small E_3 \small E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e86f634a3ca9f92a19533fb7fcc190c1.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/466ccc4d3df11276cb66edd29b1bf770.png)
![\small A' \small A'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/da50d474a25173f435a333f37e38b2cd.png)
![s^{\small A}\; (A \in s^{\small A} \; \wedge \; s^{\small A}\parallel s) s^{\small A}\; (A \in s^{\small A} \; \wedge \; s^{\small A}\parallel s)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d3def48273839cef3f1ff805a4a8ddb3.png)
![\pi \pi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/561b529836673ac608786439a2087c04.png)
![\pi \pi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/561b529836673ac608786439a2087c04.png)
![s s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/793d6602f044affad0290fdc4f61ce36.png)
![f_{(\pi, s)} ) f_{(\pi, s)} )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/96ea6612ac2628c8e90c8399789a2b17.png)
![f:\small E_3 f:\small E_3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eba09e179e52d979424c861cb2340340.png)
![\rightarrow \pi \rightarrow \pi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4bee87100e332650de69532a5ed36776.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cef21f5a2daa666b23b7d3c54a06c537.png)
![\rightarrow \small A' = \rightarrow \small A' =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0c29a808585845a228f290f0559f008c.png)
![s^{\small A} s^{\small A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ba30eb75ffd1ef1215f865825c003d1.png)
![\cap \;\pi \cap \;\pi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b4e7f5e277ef3e08f93e84c98ff50ff2.png)
![A \in s^{\small A} \; \wedge \; s^{\small A}\parallel s A \in s^{\small A} \; \wedge \; s^{\small A}\parallel s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/116db3787daaa89e2c06407fb5346ce2.png)
Definície
- Priamku
nazývame premietajúca priamka bodu
alebo smer premietania, rovinu
priemetňa. Bod
sa nazýva rovnobežný priemet bodu
v danom rovnobežnom premietaní
.
- Rovnobežným priemetom
ľubovoľného geometrického útvaru
sa bude nazývať množina rovnobežných priemetov všetkých bodov útvaru
.
- Nech
je ľubovoľná priamka, ktorá je s priemetňou
rôznobežná. Jej priesečník s priemetňou budeme nazývať stopník priamky
(označenie
). Analogicky priesečnicu ľubovoľnej roviny
(
) s priemetňou budeme nazývať stopa roviny
(označenie
).
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/293119/mod_book/chapter/4627/Sn%C3%ADmka536.png)
Poznámka.
V prípade, že priamka
je kolmá na priemetňu s priemetňou
hovoríme o kolmom (pravouhlom alebo ortogonálnom) premietaní. VPR - Def_Podperný trojuholník.
V prípade, že priamka
![s s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png)
![\pi \pi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/561b529836673ac608786439a2087c04.png)
Cvičenie
Zostrojte obrazy troch nekolineárnych bodov vo VRP. Nájdite stopu roviny, ktorá je určená týmito troma bodmi. Zadanie si otvorte Tu.
Zostrojte obrazy troch nekolineárnych bodov vo VRP. Nájdite stopu roviny, ktorá je určená týmito troma bodmi. Zadanie si otvorte Tu.
____________________________________________________________________________________________________
1) Napríklad hranol je určený svojimi vrcholmi, valec stredmi podstáv a jedným ľubovoľným bodom kružnice určujúcej podstavu, a pod.
2) Doporučená literatúra: Hromadová, J.: Deskriptívní geometrie na MFF UK. Grant FRVŠ, UK Praha 2013. Dostupné na internete Tu.
1) Napríklad hranol je určený svojimi vrcholmi, valec stredmi podstáv a jedným ľubovoľným bodom kružnice určujúcej podstavu, a pod.
2) Doporučená literatúra: Hromadová, J.: Deskriptívní geometrie na MFF UK. Grant FRVŠ, UK Praha 2013. Dostupné na internete Tu.
...