Voľné rovnobežné premietanie

Medzi dôležité tematické oblasti stereometrie zaraďujeme aj princípy zobrazovania útvarov (telies) do roviny (priemetne). Pripomeňme si, že základný trojrozmerný geometrický útvar je jednoznačne určený svojimi význačnými bodmi¹⁾.
Obrazom geometrického útvaru $\small U$ vo voľnom rovnobežnom premietaní bude geometrický útvar, ktorý pozostáva z rovnobežných priemetov všetkých význačných bodov, ktorými je útvar $\small U$ určený.

Nech $\small E_3$ je trojrozmerný euklidovský priestor a nech rovina $\pi$ je jeho podmnožinou. Ďalej nech je daná pevná priamka $s = \small SS_1$, ktorá je rôznobežná s rovinou $\pi$.

Definícia - voľné rovnobežné premietanie²⁾ (VRP)
Zobrazenie $f$ množiny všetkých bodov priestoru $\small E_3$, ktoré každému bodu $\small A$ priradí priesečník $\small A'$ priamky $s^{\small A}\; (A \in s^{\small A} \; \wedge \; s^{\small A}\parallel s)$ s rovinou $\pi$, nazveme voľné rovnobežné premietanie do roviny $\pi$ so smerom $s$ (označujeme $f_{(\pi, s)} )$.
$f:\small E_3$ $\rightarrow \pi$; $\small A$ $\rightarrow \small A' =$ $s^{\small A}$ $\cap \;\pi$, pričom $A \in s^{\small A} \; \wedge \; s^{\small A}\parallel s$

Definície

1. Priamku $s^{\small A}$ nazývame premietajúca priamka bodu $\small A$ alebo smer premietania, rovinu $\pi$ priemetňa. Bod $\small A'$ $= f($ $\small A)$ sa nazýva rovnobežný priemet bodu $\small A$ v danom rovnobežnom premietaní $f$.
2. Rovnobežným priemetom $\small U'$ ľubovoľného geometrického útvaru $\small U$ sa bude nazývať množina rovnobežných priemetov všetkých bodov útvaru $\small U$.
3. Nech $a$ je ľubovoľná priamka, ktorá je s priemetňou $\pi$ rôznobežná. Jej priesečník s priemetňou budeme nazývať stopník priamky $a$ (označenie $\small P^{a}$ ). Analogicky priesečnicu ľubovoľnej roviny $\alpha$ ($\alpha \neq \pi$) s priemetňou budeme nazývať stopa roviny $\alpha$ (označenie  $p^\alpha$).

Príklad. Vo VRP zobrazte pravidelný $n$-uholník, ktorý leží v rovine kolmej na priemetňu. Strana $\small AB$ je rovnobežná s priemetňou.

Poznámky
Práca so softvérom GeoGebra 3D je pomerne náročná pre žiakov na ZŠ ale aj SŠ. Učiteľ matematiky musí ovládať prácu aj v rovinnom modeli (GeoGebra 2d - Nákresňa).
V nákresni zadáme len smer premietania pomocou "Podperného trojuholníka $\small \triangle SS_0S_1$" [zadáme uhol $\alpha$=$\small \angle SS_0S_1$ a zadáme koeficient skrátenia $q= \frac{S_0S_1}{SS_1}$]. Pozrite si applet Podperný trojuholník Tu.

Poznámky

1. Applet "obraz šesťuholníka" je nastavený tak, aby bolo možné meniť smer premietania (uhol $\alpha$) a koeficient skrátenia $q$. 
   
2. Nastavte applet pre $\alpha=60^\circ$ a $q = \frac{2}{3}$, prípadne pre iné hodnoty.
3. Pokúste sa zdôvodniť prečo v školskej praxi najčastejšie používame VPR s parametrami $alpha=45^\circ$ a $q = \frac{1}{2}$

Cvičenie 1.
Zostrojte obraz štvorca $\small ABCD$, ktorý leží vo vodorovnej rovine vzhľadom na priemetňu (rovina kolmá na priemetňu). Zadanie Tu. Riešenie Tu.

Cvičenie 2.
Zostrojte obraz kružnice vpísanej do $\small ABCD$, ktorý leží v rovine kolmej na priemetňu). Zadanie Tu. 

Pri zobrazovaní telesa vo VRP budeme predpokladať, že teleso je umiestnené v priestore tak, aby niektorá jeho časť (stena, hrana, ...) bola v priečelnej rovine (rovina rovnobežná s priemetňou).

Obraz kocky (kvádra) $\small ABCDEFGH$ v priečelnej rovine.

Úloha.
Daná je kocka (a=9cm) vo VRP(135°,5/6). Zostrojte teleso, ktoré vznikne z danej kocky, ak odrežeme časti kocky pri všetkých vrcholoch rovinami (vrchol, stredy incidentných hrán). Riešenie Tu. 

Prémiové úlohy - každá za 2 plusové body.

1. Vytvorte interaktívny applet, ktorý bude predstavovať obraz kvádra vo VRP. Rozmery kvádra budú dané pomocou posuvníkov. Použite repér.
2. Zostrojte obraz pravidelného dvanásťstena (dodekaéder pozri Wikipédiu Tu) vo VRP. Ukážka v 3D Tu. Návod Tu.