Kubovčík, M.: Kužeľosečky
Študijný materiál v elektronickej podobe bol vytvorený v rámci diplomovej práce Tvorba študijných materiálov z geometrie pre budúcich učiteľov matematiky. Čitateľ v ňom nájde problematiku kvadratických geometrických útvarov (kužeľosečiek), ktoré sú skúmané syntetickou a analytickou metódou.
2. Hyperbola
Majme dva rôzne body roviny
a reálne číslo
.
Hyperbola ℌ je množina všetkých bodov v rovine
, ktoré majú rovnaký rozdiel vzdialeností
od týchto dvoch zvolených bodov
a tento absolútny rozdiel je menší, ako je vzdialenosť ohnísk:
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![a \in \mathbb{R} a \in \mathbb{R}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d0e675f2e6e1d85695db0d55e3bc619.png)
Hyperbola ℌ je množina všetkých bodov v rovine
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9f41309f56e21eb7f50c830a41b08e79.png)
od týchto dvoch zvolených bodov
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
![2𝑎 < |F_1F_2| 2𝑎 < |F_1F_2|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c0ccf3b2e000038b3187c6aa51a6d4b.png)
![ℌ = \{ \forall X \in \rho ; ||XF_1| - |XF_2|| = 2a\} ℌ = \{ \forall X \in \rho ; ||XF_1| - |XF_2|| = 2a\}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6865aa0207ba1c639a8943e340719939.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9032/hyperbola.png)
Asymptoty hyperboly
sú priamky, ktoré prechádzajú stredom hyperboly
a zvierajú s hlavnou osou hyperboly uhol
, pre ktorý platí
.
![a_1, a_2 a_1, a_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7c5c4f4abe5d26fd457c65536b7b8cb8.png)
![S S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
a zvierajú s hlavnou osou hyperboly uhol
![\phi \phi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/371e54dd69a34f4e1282ee595cf847f0.png)
![\tan \phi = \pm \frac{a}{b} \tan \phi = \pm \frac{a}{b}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65a1f1ac0034ea36ebd748b88120aa67.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9032/z%C3%A1kladn%C3%A9%20charakteristiky%20hyperboly.png)
Priamky prechádzajúce ľubovoľným bodom hyperboly
a jej ohniskami
alebo
sa nazývajú sprievodiče bodu
.
Sprievodiče bodu
tvoria dva uhly so spoločným vrcholom v bode
.
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom ležia ohniská hyperboly
, inak ide o vonkajší uhol sprievodičov.
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![F_1 F_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc6b0efd3bed4dfabe15757cf4089d87.png)
![F_2 F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfa0c88ec236f64b0c078015d65db2b.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Sprievodiče bodu
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
Vnútorným uhlom sprievodičov nazývame taký uhol, v ktorom ležia ohniská hyperboly
![F_1, F_2 F_1, F_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a79fe3cf32b49d14b6b0a23e93cf3f2.png)
Priamka
je dotyčnicou ku hyperbole v dotykovom bode
práve vtedy, keď je osou vonkajšieho uhla
sprievodičov bodu dotyku
.
![t t](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![𝜔 𝜔](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/624e01effdfaf4ba66779e905dee3996.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9032/doty%C4%8Dnica%20ku%20hyperbole.png)
Riadiace kružnice hyperboly
sú množiny bodov súmerných s jedným ohniskom hyperboly
podľa všetkých dotyčníc ku hyperbole, pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti 2
:
.
![g_1, g_2 g_1, g_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2736d327efadfbd0e9d3d5fe41cfd660.png)
podľa všetkých dotyčníc ku hyperbole, pričom stred tejto kružnice je v druhom ohnisku a polomer kružnice je o veľkosti 2
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
![𝑔_1
(F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎) 𝑔_1
(F_1, 2𝑎), 𝑔_2(F_2, 2𝑎)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3f7320b7196e1465f51355e20452870.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9032/riadiaca%20kru%C5%BEnica%20hyperboly.png)