Afinná geometria
Afinný n-rozmerný priestor
Pri syntetickom prístupe v geometrii sme vychádzame z euklidovského priestoru podľa Euklidových Základov, v ktorom sa základné geometrické útvary (bod, priamka) nedefinovali.
Vedeli sme jednoznačne rozhodnúť o pravdivosti výrokov typu: Bod patrí alebo nepatrí danému útvaru.
Tento prístup z matematického hľadiska predstavuje zásadný problém: Nevieme jasne zadefinovať, čo je to (bodová) množina.
Neskôr (aj historicky) sme zaviedli pojmy:
v afinnom priestore predstavuje posunutý bod
o vektor
.
V tejto kapitole budeme využívať prevažne štandardnú bázu
, ktorej vektory sú navzájom kolmé a majú
jednotkovú dĺžku. Takejto báze tiež hovoríme ortonormálová báza.
Neskôr (aj historicky) sme zaviedli pojmy:
- vektor a vektorový priestor ako štruktúru s predpísanými binárnymi operáciami
- štandardná báza
vektorového priestoru
- súradnice vektora
v štandardnej báze.
Tieto pojmy nám umožňujú zaviesť afinný priestor axiomaticky pomocou vektorového priestoru.
![\small A + \pmb u \small A + \pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a77aa49c6ab7fd05a7b252919ca1ee27.png)
v afinnom priestore predstavuje posunutý bod
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/466ccc4d3df11276cb66edd29b1bf770.png)
![\pmb u \pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/01669ee60949b0bcf5f635656e677fbc.png)
V tejto kapitole budeme využívať prevažne štandardnú bázu
![\pmb{e = (e_1, . . . , e_n)} \pmb{e = (e_1, . . . , e_n)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b6b994cecb1a369b40372ccd2d6b4bbe.png)
Afinný priestor nad poľom
je trojica
, kde
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e6e43a5e6357c75c1b1bf4ff463ccd5.png)
![\small (\mathcal{A}, \mathit V, f) \small (\mathcal{A}, \mathit V, f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/201e3e835ba043b98e638df5a5076600.png)
je množina bodov.
je vektorový priestor nad poľom
.
je zobrazenie s vlastnosťami:
(AP1)
(AP2)
je bijektívne zobrazenie. Pozrite si prácu (príklad 2) Tu.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/364837/mod_book/chapter/7503/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202024-01-12%20101336.png)
Ak usporiadaná dvojica bodov
predstavuje umiestnenie vektora
, tak vektor môžeme vyjadriť
ako
, čo predstavuje zobrazenie
.
Podmienka (AP2) sa niekedy uvádza takto:
(AP2')
existuje práve jeden
bod
taký, že
.
(AP2'')
taký, že
.
V tejto kapitole budeme pracovať len s reálnym afinným priestorom nad telesom (poľom) reálnych čísel
. Fundamentálnou vlastnosťou
afinného bodového priestoru je axiomatické tvrdenie:
![\small (X , Y) \small (X , Y)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de448a8e1b1a0e819fc089277e2d3490.png)
![\small \pmb u \small \pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a01021ced2d9c378cb15dddc95428d47.png)
![\small \pmb u =\small {Y - X} \small \pmb u =\small {Y - X}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f9e7aa97bbbd33b412ecdfc043de13b6.png)
![\small \pmb f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R) \small \pmb f : \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f7a33af9e93d25d940317bda818e367f.png)
Podmienka (AP2) sa niekedy uvádza takto:
(AP2')
![\small \forall X \in \mathcal{A}; \forall \pmb u \in V \small \forall X \in \mathcal{A}; \forall \pmb u \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/78583a3dea9faf36cd8a1ea7935208d8.png)
![\small P \in \mathcal{A} \small P \in \mathcal{A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d5ecead66dacd3f143c4681bcc45c092.png)
![\small \overrightarrow{PX} =\pmb u \small \overrightarrow{PX} =\pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d96df6b171c52d303f2d0cebf16a85bb.png)
(AP2'')
![\small \forall X,Y \in \mathcal{A}; \exists \pmb u \in V \small \forall X,Y \in \mathcal{A}; \exists \pmb u \in V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74ba3d46d78b41f17553adf07ca5a190.png)
![\small Y=X + \pmb u \small Y=X + \pmb u](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/59a003dffd658aaa860c0f4f08c6155c.png)
V tejto kapitole budeme pracovať len s reálnym afinným priestorom nad telesom (poľom) reálnych čísel
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e6e43a5e6357c75c1b1bf4ff463ccd5.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/364837/mod_book/chapter/7503/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202024-01-12%20102035.png)
![\small T_2 \small T_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d25e9b041a34af9586c73ae312cd1e15.png)
![\small (\mathcal{A}, \mathit V, f) \small (\mathcal{A}, \mathit V, f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/201e3e835ba043b98e638df5a5076600.png)
![\small P' \small P'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12f4f3df3b56ead51427ff2f4b18268f.png)
![\small \forall P' \in \mathcal{A};\; f_P' :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P',X) \small \forall P' \in \mathcal{A};\; f_P' :\mathcal{A} \rightarrow \mathbb{V};\;X \rightarrow f(P',X)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d00eebc26c76b5deef00458bb937e100.png)
![\small f(P′, X) = f(P′, P) + f(P, X)) \small f(P′, X) = f(P′, P) + f(P, X))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9bec1630c61d1adb38721f66e3eaa14d.png)
Zistite, či usporiadané trojice
sú afinným priestorom.
Otvorte si dynamické obrázky: ľavý Tu - príklad afinného priestoru; pravý Tu - nie je afinným priestorom.
![\small (\mathcal{A}, \mathit V, f) \small (\mathcal{A}, \mathit V, f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/201e3e835ba043b98e638df5a5076600.png)
Otvorte si dynamické obrázky: ľavý Tu - príklad afinného priestoru; pravý Tu - nie je afinným priestorom.
Poznámky.
- Afinný priestor budeme tiež jednoducho označovať
alebo ako
. Vektorový priestor prislúchajúci afinnému priestoru
budeme označovať ako
alebo len
.
- Vektorovému priestoru hovoríme tiež zameranie afinného priestoru. Afinný priestor, ktorého zameraním je vektorový priestor nad poľom reálnych čísel nazývame reálny afinný priestor alebo aj aritmetický afinný priestor.
- Affinis znamená latinsky príbuzný. Prvý krát tento pojem použil Leonhard Euler (1707-1783) pre označenie vzťahu vzoru a obrazu v zobrazení, ktoré zachováva deliaci pomer (pozri kapitolu Deliaci pomer Tu). Afinná geometria je geometria bez vzdialenosti/miery.
Príklad.
Dané sú množiny (červená)
,
množina (modrá)
a zobrazenie
je odčitovanie trojíc reálnych čísel po zložkách.
Dokážte, že
je afinný priestor nad poľom
.
Dynamický obrázok Tu.
Dané sú množiny (červená)
![{\small \mathcal{A}} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 ; x_1 + x_2 -2x_3 = -5}\rbrace {\small \mathcal{A}} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3 ; x_1 + x_2 -2x_3 = -5}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aefba248c846cd2647d98e469f363550.png)
množina (modrá)
![{\small V} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in {\small\mathbb R^3} ; x_1 + x_2 -2x_3 = 0}\rbrace {\small V} = \lbrace{ (x_1, x_2, x_3) \in {\small\mathbb R^3} ; x_1 + x_2 -2x_3 = 0}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/81ee41950a0fc95d46192bc77b198bb6.png)
a zobrazenie
![f : {\small \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)} f : {\small \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V(\mathbb R)}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/51bd9fab19673cdef8cf0136bec89112.png)
Dokážte, že
![\small ( \mathcal{A}, V, f) \small ( \mathcal{A}, V, f)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/191e47a372c7820d45e6f3f322a30e88.png)
![\small \mathbb R \small \mathbb R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3e6e43a5e6357c75c1b1bf4ff463ccd5.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/364837/mod_book/chapter/7503/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202024-01-12%20111612.png)
Riešenie.
Pre ľubovoľný bod
platí, že
.
Pre ľubovoľný bod
![\small X[x_1,x_2,x_3] \in \mathcal{A} \small X[x_1,x_2,x_3] \in \mathcal{A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1e32b09cf88a45e990cb4c781e1264a3.png)
![\small x_3= \frac{1}{2} (x_1+x_2+5) \small x_3= \frac{1}{2} (x_1+x_2+5)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/161df3479d0609e0848f521df1eec59a.png)
- Podmienka (AP1): zo vzťahov
dostávame,
čo bolo treba ukázať. - Podmienka (AP2): Nech
je pevne zvolený bod a
sú ľubovoľné dva rôzne body.
Potom jea zrejme aj pre obrazy
platí, že sú rôzne. Teda zobrazenie je bijektívne.
Dôkaz, pre podmienku (AP2') nájdete v práci Afinné transformácie na strane 7. Pozrite tiež Príklad 2 na strane 8.
Tvrdenie (operácie s bodmi).
Nech
je afinný priestor s operáciou
. Potom pre body
Interpretujte tieto vzťahy v klasickej euklidovskej rovine pomocou programu GeoGebra.
Nech
![\small \mathbb A = (\mathcal{A}, \mathit V, +) \small \mathbb A = (\mathcal{A}, \mathit V, +)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e967342a0afdaf0ea6c1c7a143055db5.png)
![\small \pmb f: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V (\mathcal{A}) \small \pmb f: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow V (\mathcal{A})](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afe973cef744702a7b39815cd75a1b04.png)
![\small A,B,C,D \in \mathcal{A} \small A,B,C,D \in \mathcal{A}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e628771b66a27262f3e2f4b00a60174.png)
Dôkaz.
-
- Označme
.
- Z vlastnosti (AP1) dostávame
. Na druhej strane
.
- Dôkazy ďalších tvrdení nájdete napríklad v práci [Duplák, J.: Afinná a Euklidovská geometria.]